CHAPITRE VU. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

On a donc à examiner les trois hypothèses qui satisfont à i° :

L'hypothèse (c) est à rejeter, car les deux exposants égaux, 3 a et 3, sont supérieurs au troisième, a 4-1 (=2) et la condition 2" n'est pas vérifiée. Au contraire, les hypothèses (a) et (6) sont acceptables.

(rt). On a a = - , et les termes de moindre degré dans (4) sont

mm

comme ils doivent se détruire, il faut queA^ — A = o; et comme A est différent de zéro par hypothèse, on a

A = rh I .

Prenons d'abord A = i ; il vient dans (2)

z s'annulant, comme on l'a dit, pour a:=o; et dans (3), après suppression du facteur commun j?^, et réduction :

z^-\-Zz'^'\-iz H- j:* = o,

équation qui, pour a; = o, n'a qu'une racine z nulle : la valeur

principale de celle-ci est — r*^^? et Ton obtiendra son développement comme dans le cas I.

On a ainsi, pour une des racines, jKm de l'équation primitive (i"),

En prenant A = — i, on aurait un développement analogue pour une autre racine :

l8o PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

(6). On a a = a; les termes de moindre degré en x, dans {i^ sont

d'où A = I ; les équations (2) et (3) deviennent alors

Cette dernière, pour :r = o, a une et une seule racine z nulle, dont la valeur principale est a:', et qu'on développera comme dans le cas I. On a ainsi, pour la troisième racine, y^, de la proposée (i), .

Le procédé s'applique sans difficulté au cas général; on démontre que si f{^x^y)=zo est une équation algébrique admettant, pour ^ = o, h racines nulles, cette méthode donne sans ambiguïté les développements des h racines, et que les développements sont convergents pour des valeurs suffisamment petites de X,