MAXIMA ET MINIMA

179. Définitions. — On dit qu'une fonction, /(^), d'une seule variable, est maximum pour ^ = a, si Ton peut déterminer un nombre r\ (si petit qu*il soit) tel que Ton ait

pour toute valeur non nulle de h comprise entre — r, et -j-t,. Elle sera minimum, si, dans les mêmes conditions,

De même, une fonction de deux variables, f{x^ y) sera maximum, pour ^ = a, y=ib^ si l'on peut déterminer un nombre r^ tel que l'on ait

pour toutes les valeurs, non nulles simultanément, de h et k comprises entre — r^ et + r,.

II y aura minimum si la différence ci-dessus est positive dans' les mêmes conditions.

Géométriquement, marquons sur le plan le point de coordonnées rectangulaires a, b : pour quey(:r,^) soit maximum ou minimum pour x = a^ y = b^ il faut, d'après la définition, qu'on puisse tracer un carré, de côtés parallèles aux axes, ayant pour centre le point a, 6, et tel que, pour tous les points x^ y intérieurs au carré, la différence /(j:,^) — /(ûr, b) garde un signe constant. Le côté du carré est ar\.

On peut remplacer le carré par un cercle de centre a, b : car, si le carré existe, la différence /{x^y) — /(«, b) gardera a fortiori un signe constant pour tous les points x, y intérieurs au cercle inscrit dans le carré. Réciproquement, si un tel cercle existe, on en déduira l'existence d'un carré, de centre a, 6, jouissant de la inêii>e propriété, et qui sera, par exemple, le carré inscrit au cercle et de côtés parallèles aux axes.

l8i PREMIERE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

180. Fonctions d'une variable. — Si f{x) a une dérivée déterminée pour X = a^ on aura, par la définition même de la dérivée,

(0 Aa ^ h)- f{a)= h[f' {a)-^ tl

e tendant vers zéro avec h.

Quand h décroît indéfiniment en valeur absolue, le second membre finit par avoir le signe de h/\a) : le premier membre, si f'{ci) n'est pas nul, change donc de signe avec A, c'est-à-dire qu'il n'j^ a ni maximum ni minimum pour j? = «.

Donc, lorsque, pour :r = a, f{x) a une dérivée déterminée, il ne peut y avoir maximum ou minimum que si f'(^a)= o; lorsque f{x) n'a pas de dérivée déterminée, on ne peut rien dire, c'està-dire qu'il peut y avoir maximum ou minimum. En d'autres termes :

La fonction f{x) ne peut être maximum ou minimum que pour les valeurs qui rendent sa dérivée indéterminée {^) ou nulle.

Soit a une de ces valeurs, que l'on déterminera par l'étude de la dérivée; on aura dans chaque cas particulier à faire une discussion spéciale, afin de voir si f[a + h) — f{ci) garde un signe constant pour des valeurs de h assez petites, positives et négatives.

181. Cette discussion n'blTre aucune difficulté quand on peut appliquer à /(a -H h) la formule de Taylor. En ce cas, a est certainement une valeur annulant/'(x), car/'(a:) est, par hypothèse, déterminée et continue pour j; = a ; on a alors

Pour // assez petit et quel que soit son signe, le second membre a le signe de /"(a); il y aura donc maximum si/''(a)<;o et minimum siy''(a)> o.

Si/''(a)= o, et plus généralement si

( ' ) Purmi les valeurs qui rendent la dérivée indéierniinée sont comprises celles (|ui la rendent infinie.