CHAPITRE VIII. — MAXIMA ET MIMMA. l

on aura

et le premier membre, pour h assez petit, aura le signe de /j/*+i y«+« (^ay Si donc n -+- 1 est impair {n pair), comme ce signe change avec celui de h, il n'y aura ni maximum ni minimum ; si /î -h 1 est pair (/i impair), le signe restera celui de /""^* (a), et il y aura maximum pour /'*"*"* (a) <;o, minimum pour/""^*(a)>-o.

182. FonctionB de plusieurs variables. — Pour que /(^, y) soit maximum ou minimum pour x ^= a., y =z b, il faut que

conserve un signe constant lorsque h et A* sont, en valeur absolue, inférieurs à y; ; donc, en particulier, si Ton fait/: = o, on voit que

f(^a-rh,b)-f{a,b)

doit garder le même signe, c'est-à-dire que f{x^ 6), considérée comme fonction de x seul, doit être maximum ou minimum pour a; = a,

II est donc nécessaire , pour un maximum ou un minimum,

que la dérivée partielle — soit indéterminée ou nulle pour

x = a, y=ib\ une démonstration analogue s'applique à Taulre dérivée partielle; de sorte que :

La fonction f{x^ y) ne peut être maximum ou minimum que pour les systèmes de valeurs qui rendent ses dérivées partielles indéterminées ou nulles.

Soit a, b un de ces systèmes de valeurs que l'on déterminera par l'étude des dérivées de la fonction; on aura, dans chaque cas, à faire une discussion, pour voir si /(a -{-h, b~\-k) — /(«, b) garde un signe constant.

183. Comme plus haut, cette discussion est facile quand on peul appliquer à /(«-+- A, b-^-k) la formule de Taylor : en ce cas,

-j^ et -» qui sont déterminées d'après l'hypolbèse, s'annulent

l84 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

pour X = a, y= b^ et Ton a (n° 168)

Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il fau(, comme on l'a vu (n° 179), qu'on puisse déterminer un cercle de centre a, 6, tel que le premier membre garde un signe constant pour tous les points a 4- A, b -\- k intérieurs à ce cercle, c'est-à-dire pour toutes

les valeurs de h et de k qui rendent y/AM-Â^ inférieur au rayon, p©, du cercle. Posons alors

h = p costo, k = p sino),

p et (1) étant indiqués sur la figure 55 ; on a /(an-/,, b-^k)-f{a,b)

= '^ (cos*a)/^, -h 2COS01) sinw/J^H- sin*a>/^,)

Mp\

et il faut, pour qu'il y ait maximum ou minimum, qu*on puisse déterminer un nombre positif, po, tel que le second membre garde

Fig. 55.

.Cb^iK,

eu, d

JO

un signe constant pour toutes les valeurs de p inférieures à po, et quel que soit l'angle (o.

Considérons le trinôme

qui s'écrit

cos*a>/,I',H- '2C0sa> sinto/,J^-+- sin^to/^',,

cos« o) (/;,-+- 2 tanga)/;^-+- tang«w/;,).

Il est clair que si ses racines (en tangco) sont réelles, c'est-