CHAPITRE VIII. — MAXIMA ET MIMMA. l

à-dire si /^^ — flyfb*'7> o? ce trinôme changera de signe selon les valeurs de tangco, et comme on peut prendre p assez petit pour que le second membre de (4) ait le signe du premier terme, c^est-à-dire du trinôme, il n'y a ni maximum ni minimum.

Au contraire, si les racines du trinôme sont imaginaires, c'està-dire si/J^ — fltfb*<^ o, le trinôme a toujours le signe de fl% et ne s'annule pour aucune valeur de w : on en conclut que, si p reste assez petit en valeur absolue, le second membre de (4) garde, quel que soit co, un signe constant, celui de /^,. Donc, si flt<i o, il y a maximum; si flt> o, minimum.

Enfin, si les racines du trinôme sont égales, c'est-à-dire si fat — f<t*fb*=^ o> le trinôme s'annule pour une valeur de tangco : pour les valeurs correspondantes de w, c'est le terme en p' qui donne son signe, et une discussion spéciale sera nécessaire pour décider si ce signe est le même que celui qui correspond aux autres valeurs de co.

En résumé, pour

fol — fa*fb*^^i "i maximum ni minimum. (5) {flt—fa*K*<^i maximum si /^'',<o; minimum si/^;>o,

fal — fa*ft^=^ ^> doute; une discussion spéciale est nécessaire.

18i. Remarque. — Au lieu de dire que ^ et ^ s'annulent pour

les valeurs qui correspondent au maximum ou au minimum^ on peut dire que la différentielle totale

s^annule, quels que soient dx et dy.

185. Maxima et minima relatifs. — Soit à trouver les maxima et les minima d'une fonction de quatre variables

ces quatre variables étant liées par deux relations

Il y a, d'après cela, 4 — 2 = 2 variables indépendantes, x et ^, par exemple; laissant de côté les cas exceptionnels d'indétermination, on trouvera les maxima et minima en écrivant que la dilTérenticlle totale, df, est nulle, quels que soient dx et dy. Donc

(6 ) d/= ^-dx -4- --^ rfK 4- i~dz -h ~^-du = o,

-^ Ox Ojr " dz au

dz et du étant liés à dx et dy par les relations

{ 7 ) -/ dx -f- --^ dy H- - ' dz -+- --^ du = o.

dx dy "^ Oz Ou

. . à'I , d'il , d^ , O'I ,

( 8 ) --^-dx-Jf ' dy -{- ~-^dz -h -^ du = o.

dx dy "^ dz du

11 faut donc tirer dz et du de (7) et (8), porter dans (6), el écrire que les coefficients de dx et dy sont nuls dans le résultat : cela revient à éliminer dz et du entre (6), (7) et (8), et à écrire que, dans le résultat, dx et dy disparaissent. Pour effectuer celle élimination, multiplions (7) et (8) par des facteurs indéterminés, A el jjL, puis ajoulons-les à (6); il viendra

ii))

[dx^^drr'^^dx)'^''^[dj^'^^dp-^^dj^)'^'>

df . ()'i (>'i;\ , (df .do O'hX ,

dz dz ^ dz/ \du du ' du/

L'élimination de dz et du sera effectuée si nous choisissons A el jjL de manière que

df , do d'if df^ do d'I

(10) ~ -f- A /- -f- {X -' = o, -• - -f- A -'- H- [Ji T- =0. dz dz ' dz du du du

Ecrivons alors que dans (9) les coefficients de dx et dy sont nuls :

, , Of , f>-:> d'I df . do d'^

(11) -^ ^ A -^ -4- ;JL --^- = o, -;- -h X --i- -4- ;ji -/; --= o. dx dx dx dy dy dy

Les équations (10), (11), jointes à '^ = 0, 4 = 0 (soit en lout six équations) donneront les valeurs de X et [jl, et celles de x^ y, 5, u qui peuvent correspondre au maximum ou au minitnuai de/. D'où la règle suivante :

Règle. — Pour trouver les maxima et les minima d'une