CHAPITRE VIII. — MAXIMA ET MINIMA

fonction f^ de n variables liées par h relations :

on annulera les dérivées partielles, par rapport aux n t^ariables, de la fonction

les A/ élant regardés comme cons lents. On obtiendra ainsi n équations qui, jointes aux h équations cp = o, donneront {avec les valeurs des h quantités \i) les valeurs des n variables qui correspondent au maximum ou au minimum de f.

Applications.

186. Axes d'une section centrale d'une quadrique. — Soil, en coordonnées rectangulaires, la quadrique, qui admet pour centre l'origine,

les demi-axes de sa section par le plan central (i3j fx-\~my-\-nz = o

sont les maxima et les minima de la dislance du centre à un poinl de la section. On a donc à déterminer le maximum et le minimum de x^ -^ y^ -{- z^ ; x^ y^ z étant liés par (12) et (i 3). Ap))liquons la règle ci-dessus, nous avons, en supprimant le facteur 2 :

( z -k-\n -^ \xi W X -h h y -+- y z) — o,

équations qui, jointes à (12) et (i3), déterminent X, [jl et les sommets Xj y, z de la section. Pour avoir les longueurs des demi-axes eux-mêmes, il faut joindre à ces équations la relation

( I 5 ) /'i = ar' -h y

et éliminer X, u., x^ y, z entre (12), (i3), (1.4) et (i5).

Le calcul se fait simplement si Ton multiplie la première équation (i4) par X, la seconde |)ar y, la troisième par 5, et si Ton

ajoute membre à membre; il vient en effet, en tenant compte

de (i3) et (la),

r' — (JL = o.

On a alors, en portant cette valeur de [x dans (i4) et en récrivant (i3),

ar(i-f- A/ï)-f-j^B'/-2 -+-;ïB'r« -hll = o,

xB'r^ -h y(i-h X'r^)-¥- zBr^ H-Xm = o,

xB'r^ -hjBr» -h ;5(r 4- A'r«) H- X/i = o,

xl -\- y m -\- z n =o,

équations linéaires et homogènes en x^y^ 5 et X; Télimination de ces quantités donne :

r-+-Ar« BV« B'r* /

BVï i-i-A'r« Br* m

BV» Br« I-+-AV» n

/ m no

équation du second degré eh r^, dont les racines sont les carrés des deux demi-ax.es de la section.