CHAPITRE I. — généralités; différentielles
sera nulle, ce qui établit le théorème. Pour échapper à cette conclusion, il faut donc que dans un des quatre carrés, Qi par exemple, la fonction prenne des valeurs de signes contraires, et ainsi de suite, en poursuivant la décomposition en carrés.
On forme ainsi une suite de carrés Q/, dans chacun desquels y*(j:, y) est négative et positive et qui tendent vers un point (^o»JKo) de l'aire A ou de son contour. Si /(^oj J^o) est nul, le théorème est démontré; sinon, je dis qu'on arrive à une contradiction. Soient en effet e un nombre inférieur, en valeur absolue, ^ /{^m yo)', et R le carré déjà introduit de centre (^o>^o)> <!"' correspond au nombre e. Les carrés Q/ finissent par être intérieurs à R; alors la valeur de f{x^y) dans l'un d'eux reste comprise, en vertu de la définition même de la continuité, entre fi^fii yo)-^ e ety(xo,^o) — e> quantités de même signe : la fonction/(x,^') ne peut donc prendre, dans le carré, des valeurs de signes contraires, ce qui contredit un des résultats précédents.
8. Corollaire. — Une fonction continue dans une région finie d'un seul tenant, contour compris, prend dans cette région toutes les valeurs comprises entre son minimum m et son maximum M.
Soit en effet \k une quantité comprise entre m et M; la fonction continue f{x^y) — (jl est négative au point qui répond au minimum, positive au point qui répond an maximum. Elle s'annule donc dans la région. c. q. f. d.
9. Continuité uniforme. — Une fonction /(x, y)^ continue dans une région A du plan, est dite uniformément continue dans cette région, si, e étant donné aussi petit qu'on veut, on peut assigner un nombre 7^, fonction de e seul, tel que l'on ait
mod [/(a?, y)—f{xo, ^o )] < e
pour tous les points {x^, y^) de A, et pour toutes les valeurs de x^ y respectivement comprises entre Xq — r^ et Xo-\-r^\yQ — r» el^o-h Tj. Le nombre r,, ou ^^(î), sera dit module de continuité uniforme dans A, pour le nombre e. Il est clair que tout nombre inférieur à un module de continuité est aussi module de continuité.
Il semble, au premier abord, qu^une fonction continue dans une région A, contour compris, y soit uniformément continue. En effet, la fonction, étant continue dans A, admet en chaque point (xoi^o)» et pour un nombre donné e, un module de continuité Ti, fonction de Xq, j^o et e; le plus petit de ces modules quand :ro et ^o varient dans A, e restant fixe, ou a fortiori un nombre inférieur, est évidemment un module de continuité uniforme dans A pour le nombre e, ce qui paraît établir le théorème.
Le raisonnement est inexact, parce que les modules t\ n'ont pas nécessairement de minimum, ou de limite inférieure non nulle : ils peuvent admettre zéro pour minimum non atteint, de sorte qu'aucun d'eux n'est nul et qu'on ne peut assigner de nombre positif qui leur soit inférieur à tous.
On s'appuiera, pour une démonstration exacte, sur le lemme suivant.
10. Lemme. — Si ri est module de continuité def{x, y) pour le point {xqj y^) et le nombre e, le nombre ^tj sera un module de continuité uniforme pour le nombre 2e, à V intérieur du carré R', de cdtéri^ de centre {xq, jKo) ^^ de côtés parallèles aux axes.
On a en effet, d'après la définition même de la continuité au point (^Tc^o):
en désignant par {x,y) et (a, b) deux points quelconques, intérieurs au carré R, de centre (xor yo) et de côté ^yj; quant à 6 et 8', ce sont des nombres compris entre — 1 et -h i . On en tire
/(^,r)-/(«' 6) = (fi-0')e, c'est-à-dire
mod[f{x,y) — f{a, b)]<iz.
A fortiori, cette dernière inégalité aura lieu si, le point x, y restant dans le carré R, le point (a, 6) reste dans le carré R', de centre (^oO'o) et de côté r^ {fig. i) : or, quelque soit le point (a, 6) dans R', le point dont les coordonnées sont respectivement comprises entre a — ->rt-h-et6 — -» 6+- sera dans R et pourra *■ 1 2 '1 1 *
