CHAPITRE VIII. — AIAXIMA ET MINIMA

Les équations (i6) s'écrivent alors

a7(n- Ar*)-hj'B'r« -h zB' r^ =0,

xB'r^ -h^(i -+- A'r*)-+--sB/« = o,

xB'r* H-j^B/'» -f-5(n- AV*) = o;

d'où, en éliminant x^y, z^

i-f-Ar» BV« B'/«

BV» i-hAV« Br« B'r« Brî i -h A V»

C'est l'équation cherchée; elle est du troisième degré en r^, comme on devait s'y attendre.

188. Méthode géométrique. — La Géométrie permet souvent de trouver directement les conditions des maxima et des minima.

En effet, si Ton a à chercher par exemple le maximum ou le minimum d'une fonction /{x^y^ z) de trois variables indépendantes, on devra écrire

àf Of âf

ôj; Oy Oz

Or y- dx est la valeur principale de l'accroissement de / quand,

y et z restant fixes, on fait varier x; et l'on peut faire la même

observation sur j-dy el-^dz; si donc la Géométrie permet

d'évaluer directement ces trois valeurs principales, on n'aura qu'à exprimer qu'elles sont nulles pour obtenir les conditions du maximum ou du minimum.

D'autres fois, on pourra évaluer géométriquement la différentielle totale d/, pour des accroissements simultanés quelconques des variables indépendantes et l'on exprimera qu'elle est nulle, quels que soient ces accroissements.

Voici des exemples.

189. Problème I. — Triangle d'aire maximum ou minimum circonscrit à une courbe donnée. — Un triangle circonscrit à une courbe dépend de trois variables indépendantes, à savoir les paramètres qui déterminent chacune des trois tangentes qui le

constituent, par exemple les angles de ces tangentes avec une droite fixe.

Pour écrire que Taire est maximum ou minimum, il faut donc exprimer que la valeur principale de son accroissement est nulle quand, deux quelconques des côtés du triangle restant fixes, le troisième varie infiniment peu.

Par exemple, ABC élant {^fig. 56) un triangle circonscrit à la

Fig. 56.

courbe, laissons fixes les côtés AB et AC, et faisons varier BC en B'C; l'accroissement de l'aire du triangle est BHB' — CHC Or

BHB — CHC'= -(HB.HB'— nC.HG')sinrfe.

A la limite, quand B'C tend vers BC, le point H tend vers le point de contact T de la tangente BC; HB' et HC tendent vers TB etTC, de sorte que

Valeur principale de (BHB'— CHC) = i é/0(TB"*- TG»);

et, pour qu'il puisse y avoir maximum, il faut que TB =: TC, c'est-à-dire que T soit le milieu de BC. Ainsi :

Pour le triangle d^aire maximum ou minimum circonscrit à une courbe, les points de contact sont au milieu des côtés,

190. Problème II. — Parmi les triangles qui ont leurs sommets respectivement situés sur trois droites données de l'espace, quel est celui dont le périmètre (ou Vaire) est maximum ou minimum?

Soit ABC {fig* 5") un de ces triangles; pour trouver les con-