CHAPITRE Vin. — MAXIMA ET IIINIIIA. igi
ditions du maximum ou du minimum du périmètre, laissons les sommets A et B fîxes, et faisons varier infiniment peu le sommet G en C sur la droite (A) qu'il décrit.
Il faut, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que la différentiel le du périmètre du triangle ABC soit nulle, c'esl-à-dire que
Ton ait, en négligeant les infiniment petits du second ordre par rapport à CC,
CA -h CB = C'A -h C'B.
En d'autres termes, les points C et C doivent être sur un même ellipsoïde de révolution ayant les points A et B pour foyers. Sous une autre forme, en passant à la limite, la droite (A) est tangente en C à rdlipsoïde de révolution, de foyers A etB, qui passe par C, ou encore la droite (A) est perpendiculaire en C à la bissectrice Cil «le l'angle ACB, puisque celle-ci est la normale de l'ellipsoïde au point C.
Le même raisonnement s'applique aux autres sommets A et B, (le sorte que :
Le maximum ou le minimum du périmètre correspond au cas où les bissectrices du triangle sont respecti^'ement normales aux droites décrites par les sommets.
On verrait de même que :
Le maximum ou le minimum de Vaire correspond au cas 0(1 les hauteurs du triangle sont respectivement normales aux droites décrites par les sommets.
191. Problème III. — Trouver sur une surface donnée un point M, dont la somme des carrés des distances à n points donnés A|, A2, . . ., A,,, soit maximum ou minimum.
Soient M {Jig- 58) le point cherché, et M' un point infîniment
voisin quelconque situé sur la surface j il faut écrire que la difle-
rentielle de la somme 2 A/M est nulle, quand on passe de M à M'. Or, si MM' est Tinfinîment pelit principal, Tangle MA|M' est évidemment du premier ordre; .si donc on mène MQi normal à A4 M', on aura A, M = A| Qi , au second ordre près (n° 14), de sorle que la différentielle de A4 M, quand on passe de M à M', sera
Si 64 est Tanglc A4 M m, on a, pour valeur principale de Q|M',
Valeur principale QilVr= MM'cosOi,
d^où
é/(AiM) = MM'cosO,.
La différentielle de la somme SA, M sera ainsi
2 2 Al M t/(AxM) = 2 M M' S A/M cosO/, et, comme elle est nulle pour le maximum ou le minimum, on a
MAiCosOi-h MAjCosOj-h. . .= o,
ce qui exprime que les projections des vecteurs MA|, MA^, . . . sur une direction quelconque, Mm, du plan tangent à la surface en M, ont une somme nulle.
On en conclut que la normale à la surface en M passe par le
