CHAPITRE VIII. — MAXIMA ET MIMMA. I

centre des moyennes distances des points A|, Ao, ..., A,,. Prenons, en effet, comme origine des coordonnées le point M; pour plan des xy le plan langent et pour a\e des :; la normale en ce point; soient xi^ rv, Zi les coordonnées de A/. En projetant les vecteurs MA/ sur les axes des xetdes^', on a, par ce qui précède, irjr,= o et -j^i= o; le centre des moyennes distances des A, ayant

pour coordonnées o: et y les quantités - Sx/ et - S r/ est donc

l>ien sur Taxe des Zy ce qui établit la proposition. Ainsi :

Les points M cherchés sont les pieds des normales qiCon peut mener à la surface par le point G, centre des moyennes f/istances des n points A/ donnés.

192. Nous terminerons ces applications par un exemple où le minimum peut correspondre aux valeurs qui rendent les dérivées partielles indéterminées.

Problème. — Trou^^er, dans le plan dUm triangle Ai X^^^^ un point M dont la somme des distances aux trois sommets soit minimum.

Si x, y sont les coordonnées de M, a/, 6/ celles de A/, il faut chercher le minimum de la fonction de deux variables indépenclantcs X et >',

Annulons les dérivées partielles :

df ili T CIa — X «3 — X

OX Pi pî p3

\ à f b^ — y bi—y b^— y

[ ^y pi ?i p3

en posant, pour abréger,

P/ = -f- Aa: — «/)« -+- (7 - bTf'.

Les équations (3) donnent les coordonnées de M; on peut les i nterpréter géométriquement.

En effet, portons sur le rayon MA/, à partir de M et en allant H. i3

vers A/, une longueur MP/ égale à TunUé : les projections de MP/

sur les axes sont évidemment — > -^ — -: d'ailleurs, si av. 3;

sont les coordonnées de P/, ces projections sont aussi a/ — x. Les équations (3) peuvent donc s'écrire

c'est-à-dire que M (/tff- og) est le centre de gravité du triangle P1P2P3. Or le cenlre M d'un cercle ne peut être le centre de

gravité d'un triangle inscrit que si celui-ci est équilatéral; car les médianes doivent passer par le cenlre et sont, dès lors, perpendiculaires aux côtes opposés. Donc P1P2P3 est équilatéral, c'est-à-dire que les trois angles (en M) sous lesquels on voit de M les trois côtés du triangle primitif, A| A2 A3, sont égaux à 120".

D'après cela, le point M est à l'intersection de deux arcs, capables chacun d'un angle de 120**, décrits sur A| A2 et A1A3, et l'on voit sans difficulté qu'il n'est réel que si le triangle A| Aj A, n'a pas d'angle supérieur à 120".

Si le point M est réel, il correspond à un minimum ; car 00 a,

d'après les expressions (3) de y- et — i

Ox^

ai)'

Oxdy pî