CHAPITRE VIII. — MA\I!blA ET MIMMA

el Texpression

est de la forme

(XX'-4-jJifji'-f-vv')5— (Xî-+-;ji*-T-vï)(X'2-hîx'*4-v'2),

c'esl-à-dire

— (X;x'— X'|Ji)2 - ( Xv'- X'v )'— ( ;jiv'— jji'v;*;

elle est donc toujours négative, el, comme -y— est positif, il j a

bien minimum (n^ 183).

Si le point M, déterminé comme ci-dessus, n'est pas réel, c'està-dire si le triangle A| A2A3 a un angle supérieur à 120°, il semble qu'il n'y ait jamais de minimum.

Cette conclusion serait fausse; on n'a pas trouvé de minimum

(réel) en annulant —- et -^^ » mais il faut voir si le minimum ne

^ ' Ox Oy

correspondrait pas aux valeurs qui rendent y- et -p indéterminées. Or, d'après (3), ces deux dérivées deviennent indéterminées pouru: = a/, ^ = 6,, c'est-à-dire pour les sommets du triangle proposé; il est donc possible qu'un de ces sommets donne un minimum.

On peut, en effet, montrer géométriquement que si l'angle A|, par exemple, est supérieur à 120®, le sommet A| correspond bien à un minimum.

Soit N (Jiff* 6u) un point du plan, intérieur au triangle (on

Fig. ik).

verra que la démonstration s'applique à toutes les positions possibles de N); je dis que

N V, -H NA, -i- NAa > A| A, h- Ai A3. Pour le voir, abaissons de N des perpendiculaires, NQ et NB,