I. — PROCÉDÉS D'INTÉGRATION

193. La première question que traite le Calcul intégral est la suivante :

Trouver les fonctions qui ont pour dérivée une fonction donnée f{x).

Nous établirons dans le Chapitre suivant que, ?\f{x) est continue entre x=a et ^ = 6, il existe une fonction F(j:) ayant pour dérivée /(x), pour toutes les valeurs de j: comprises dans cet intervalle; mais il n'y a aucune méthode générale pour trouver la fonction F(j:). De plus, si f{x) est une combinaison de fonctions élémentaires (polynômes entiers, fonctions algébriques, fonctions circulaires et exponentielles, logarithmes, arcsin, etc.). F(j:) ne sera une fonction de même forme que dans des cas très particuliers, de sorte que le Calcul intégral conduit, dès le début, i des fonctions nouvelles.

Il y a une inQnité de fonctions F (a:) ayant pour dérivéey(;r), îar il est clair que F(j:) + C (C désignant une constante arbiraire) a la même dérivée que F(j:). Réciproquement, si ^{x) X F( x) ont même dérivée, 4>(a:) — F(j:), ayant une dérivée nulle, era une constante (n® 19).

Les fonctions en nombre infini qui ont pour dérivée y (:r) se

igH DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

nomment fonctions primitives de f{x). On peut dire aussi qu'elles ont pour diflFérentielle/(j:) dx\ on les appelle intégrales ou intégrales indéfinies de la différentielle f{x)dx^ et on les représente par la notation

dont l'origine sera expliquée quand on traitera des intégrales dé^nies.

On se sert également, pour désigner une intégrale j f(^x)dx^

de l'expression de quadrature; une expression est dite dépendre de I, 2, ... quadratures quand elle renferme i, 2, ... signes d'intégration.

191. Les résultats obtenus dans la théorie des dérivées donnent immédiatement les intégrales de plusieurs différentielles simples; le Tableau suivant indique les principales de ces formules :

J ^ (fn-hi)' f , . . , .

> formules équivalentes.

r cJjr ____j I ( ^

r dx J x^a

r dx J a^-+-x*

/dx

= log±(j: — a),

= — arc lang- > a a

= arc sin — > a

e'^^dx = — e'"J'.

/sin m X dx = — — cos m jt, Fn

/cosnixdx = — s'inmx, m

I tang m x dx = log cos m .r,

/n^dr =-.og/(.).