CHAPITRE I. — INTEGRALES INDÉFINIES

193. On peut indiquer trois procédés à l'aide desquels on arrive quelquefois à intégrer une différentielle donnée.

1" Décomposition en éléments simples. — Si Ton a

f(x) — ^(x) -h'^ix) -h. ..-H y^(x)y il est clair que

I f{x)dx ^ j o{x)dx-\- I ^{x)dx -^. , ,-^ j y(x)dxj

car la dérivée d'une somme est la somme des dérivées des termes. Si Ton peut eflectuer la décomposition de/(x) en somme, de

manière que les intégrales j (f(x)dx^ 1 à(x)dXf ... soient connues, on saura donc intégrer j /{x)dx.

Exemple: j cos^xdx= 1 -(i -{-cos2x)dx= -x-{- -s\n'2X,

•p-° Intégration par parties. — On a, ii et ç étant fonctions de x,

(a(')^= uv'-^ vu' y

dVjii l'on déduit, en intégrant les deux membres,

ou

On écrit aussi

uv = / iiv' dx -+- I vu' dx I uv'dx = uv — / vu' dx,

j u dv = uv — j V du.

Si donc on a à intégrer/(:r)rf^, on essaiera de mettrey(»r) sous la forme d'un produit de deux facteurs u et r', dont le second soit la dérivée d'une fonction connue, et l'on ramènera ainsi le

calcul de I f{x)dx à celui de / vu'dx^ qui pourra être |)lus

simple.

Exemple, — Soit à calculer / arc tangj&e/x; on écrîr

/arc tango: dx = x arc langx — / ^ ""

dx

du

= X arc tangx log( i -ha**).

Généralisation. — Si w^*' et r^*^ sont les dérivées d'ordre A" de u et V par rapport à x, on a, en intégrant par parties,

juv^'^^dx= i/t'(«--i) — 1 u'v^'*-^^dx^ Ç u' v'^n-x) dx = u' v^»*-^^ — Çu'v^'^-'^^dx, ..., d'où, (inalenient,

H-(— i)«-'a(«--ïV-+-(— i)" / u^^^vdx.

C'est la formule d'intégration par parties généralisée.

3^ Changement de variable. — C'est le plus important des procédés d'intégration. Soit à calculer 1= j /(x)dx; posons

x = o(t), d'où dx = Q'{t)dt.

Comme on a, par définition ,

dV =/(x) dxy on en déduit

d\=f[^{t)]o'{t)di,

c'est-à-dire que la dérivée de I, par rapport à /, est/[y(/)]'^'(/). Donc

En d'autres lermes, dans l'intégrale proposée, on remplace x et dx par leurs valeurs en fonction de t et de dt^ et Ton est ramené à calculer une intégrale en t^ qui peut être plus simple que Tancienne. Si on peut la calculer, soit I = F(/) son expression,