CHAPITRE 1. — INTEGRALES INDEFINIES. 20I

on obtiendra F, en fonction de x, en remplaçant / par sa valeur, tirée de x = ?(^).

Exemple, — Dans / arcsinx<fj:, posons

arc sin a: = ^ ou a: = sin/, dx = C{)%tdt\

rintégrale devient

/ t cos / dt ;

intégrons par parties, en regardant cos t comme la dérivée de sin / :

/ t cos t dt = t shit — / sin/ é/^ = ^ sin/ -h cos/.

L'intégrale proposée s'obtient en remplaçant, dans cette expression, / par arcsinx; sin/ par x] cos/ par y/i — x^. Donc

/ arc sinx dx — x arc sinx -h y/i — x^,

196. On va maintenant appliquer les procédés précédents aux tvpes de fonctions que l'on sait intégrer; ces types, en petit nombre, sont les suivants :

Fonctions ALGl^BRIQUES.

i" Fonctions rationnelles ( * ), :^ (P e/ Q polynômes en x),

•2** Fonctions rationnelles île x et de

.'5** Fonctions rationnelles de x et de ^a x^ -h ib x-\~ c.

( ') Oq nomme /owc/io/i rationnelle de x le (juolicnl de deux polynômes entiers en x\ de même une fonclion ou expression rationnelle en x, y^ Zj ... est le quotient de deux polynf)mes entiers en x, y^ z^

On conçoit ainsi ce qu'on entend pâv fonction rationnelle de x et de \fx: par

exemple z- est rationnel en x et \'^, mais n'est pas rationnel par rap*-

I — 2 ^/j7 -t- X* port à la variable x, puisque x y figure sous un radical.

*• I n X ■ <■ - Cl I s X

' De mùme l'expression — .— • -^ est rationnelle en sin a? et cosj7, mais n'est

sin' J7 -+- ^

pas fonction rationnelle de la variables: de même, enfin, ^- est rationnel

en X et logx, etc.

4** Fondions rationnelles de x et de y y lorsque y est lié à x par une équation cp(x, j') = o représentant une courbe unieu r sa le.

Fonctions transcendantes.

I® Fonctions rationnelles de smx et cosx,

'/? Fonctions rationnelles de e*"'.

S** Polynômes entiers en Xj e*^, e*-^, ..., sinax, cosax, sin^j:, cosPo:,

4** Fonctions f{x^ logx); /(a:, divcsinx)^ oii f est un polynôme entier.