CHAPITRE I. — INTÉGRALES INDÉFINIES

est ramené à intégrer une fraction rationnelle r=r (x), où le degré

du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. On s^appuiera pour cela sur le lemme suivant.

Lemme. — Une fraction rationnelle de x. ., / t qui ne de-

*^ ' uix) *

iient infinie pour aucune valeur, finie ou infinie, réelle ou imaginaire de x, est une constante.

Décomposons, en effet, le dénominateur en facteurs {x — a)*, (jr — 6)?, ...; si la fraction ne devient pas infinie pour x = a^ c'est que le numérateur N(j:) contient (j: — a)* en facteur, etc.; N {x) est donc divisible par le dénominateur D(^), de sorte que

N(ir) M(x) étant un polynôme entier en x. Mais comme W—/ c'està-dire le polynôme M(a:), ne devient pas infini pour x = oo, par hypothèse, ce polynôme se réduit à une constante.

Soient maintenant «, 6, ..., / les racines du polynôme Q(^); a, ^, . . ., A-leurs ordres de multiplicité. On peut supposer qu'aucune d'elles n'annule R(x) ; car si Q et R avaient un facteur commun (jc — a)P^ on le supprimerait au numérateur et au dénominateur.

Cela posé, considérons la racine a, et faisons pour un instant

# j 1 r .• t^(^) ¥-11 1 • . R(flrH-/i)

j: z= a-h n dans la fonction tt^— {• bue devient 7^— r- * et son

dénominateur contient A* en facteur, puisque a est racine d'ordre a de Q(x).

Développons 77^ r- par la division suivant les puissances

croissantes de h, en ne conservant que la partie infinie du développement (n° 173), c'est-à-dire en calculant jusqu'au terme

en 7- inclus; il vient

R(a-{-h) A 31 Aa i A

-h expression (*) restant finie pour // = o;

(*) Cette expression est une fraction rationnelle en /j, puisque c'est la diiïé-

. 1 -r K(a -4- /î) , ,, . Il A A,

ronce de la fraction -— rr ^^ "C 1 expression ratioonclle 7-f -»- • • -H -7- •

2o4 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

OU, en revenant de h à x,

^ K{x) Aot . Aa-t . A|

fonction rationnelle finie pour:r = €7.

Opérons de même pour les autres racines 6, c, ... de Q(jr), et considérons la somme de toutes les parties infinies trouvées, à savoir la fonction de x :

(jT — a )^ {x — a)*-' X — a

Je 4is que F(x) est identique à la fraction rationnelle proposée, -çT ^ - En effet, la différence F(^) — ^r ne devient pas

infinie d'après (i) et (2) pour x ^= a^ puisque les parties infinies se détruisent; de même pour a: = 6, ..., /. Elle ne devient pas non plus infinie pour x = 00, car F(oc) est évidemment nul,

cl 7) (oc) est nul aussi, puisque le degré de R est inférieur à celui

de Q. Donc, en vertu du lemme, la différence F(.r) — ^r y ne

devenant infinie pour aucune valeur de x^ et étant évidemment une fraction rationnelle en x, est une constante; cette constante est

nulle, puisque, pour la valeur particulière x = oo, F et ^ sont nuls.

Il en résulte donc bien que - * est identique à F(j:), cVslà-dire est donné par le second membre de ('2); on a ainsi déconn-

Rf:r) . A

posé 777 — en fractions simples, de la forme , -•

Voici donc le résulta?.

199. Résumé. — Soient a, b^ ... les racines du polynôme Q(^)» a, |î, ... leurs ordres de multiplicité; la fraction rationnelle /tt-^' où le numérateur a son degré inférieur au degré du dénominc-