CHAPITRE I. — généralités; DIFFÉRENTIELLES. Il
être pris pour le point {x^y). On aura donc
mod[/(3r,7)— /(a, ô)]<2e
pour tous les points (a, b) de R' et pour toutes les valeurs de x^ y
Fig. I.
2irj
comprises respectivement entre a
ce qui établit le lemme.
Démontrons maintenant que :
5 , rt -I- 5 et è '1 1
\\. Théorème. — Toute fonction continue dans une région finie A, et sur son contour, est uniformément continue dans la même région.
Supposons en effet qu'il en soit autrement, c'est-à-dire que, pour un certain nombre 2e, on ne puisse trouver de module de continuité uniforme de la fonction /(j;, y) dans Taire A; je dis qu^on est ainsi conduit à une contradiction.
Reprenons en effet le carré Q, qui comprend toute l'aire A, et divisons-le en quatre autres; dans l'un au moins de ceux-ci, Q«, la fonction y'(j:, y) n'admettra pas de module de continuité uniforme pour le nombre 2£ : autrement, en effet, elle admettrait comme module, dans Q, le plus petit des quatre modules qui répondent aux carrés secondaires. En divisant alors Qi en quatre carrés et poursuivant le raisonnement, on forme une série de carrés Q/, tendant vers un point (.^o^^o) de Taire A ou de son contour, et dans chacun desquels y(:c, y) n'a pas de module de continuité uniforme pour le nombre 2e. Or, soit R' le carré de centre {xq^ yo) défini dans le lemme, et à Tintérieur duquel /{x^y) admet, pour ce même nombre, 2e, un module de continuité uniforme : il est contradictoire que f{x,y) ait un tel
module dans R' et n'en ait pas dans les carrés Q,, puisque ceux-cî finissent par être tous intérieurs au carré R'. c. q. f. d.
12. Dérivée. — Si f{x) est une fonction continue pour ^ = a, la différence J\a -^ h) — /(«), d'après la définition de la continuité, tend vers zéro avec h] si de plus le quotient
tend vers une limite finie et déterminée lorsque h tend vers zéro <r une manière quelconque, cette limite est dite la dérivée de la fonction fi^x) pour x =-- a. 'On la représente par y (a).
Dans cet énoncé les mots d^ une manière quelconque sont indispensables : en effet, faire tendre h vers zéro, c'est (n° 1) faire passer h par une suite de valeurs successives
ayant pour limite zéro; or, il peut se faire que pour deux suites
convenablement choisies, le quotient ^ — — **^ deux
limites différentes. Voici un exemple :
Soit
On
f{x)—x%\Tï— et a — o,
/(o)=o et / ±-L^-^LLJ. =: sin p
cette expression tend vers i si h tend vers o en passant par la suite de valeurs
— haA-T — h9Ak-\-i)Tz h 'À m:
elle tend vers o, si h tend vers o en passant par la suite de valeurs
IfCTZ 2(A--r-l)7: 2 /ITT
La fonction /(o;), d'après cela, n'a pas de dérivée pour x = o. Les règles du calcul des dérivées ont été données dans le Cours
