CHAPITRE I. — INTEGRALES INDEFINIES

L'intégrale se compose donc d'une partie IraDScendanie,

Ailog(x — rt) -i- Bilog(a: — 6)-h. . .,

et d'une partie rationnelle,

1 Aa A. I H3

^ui se présente sous forme d'une somme de fractions simples.

!2U2. Cas des racines imaginaires. — La méthode des n*^"* 190 «i20I ne suppose nullement les racines réelles; toutefois, dans le Oas des racines imaginaires, au moment de faire l'intégration 51 est utile de prendre une précaution, afin de ne pas trouver des logarithmes portant sur des quantités imaginaires.

Soient « = X4-|jLi une racine imaginaire, et b :=^\ — ]ki la racine conjuguée; elles sont de même ordre, c'est-à-dire que at=j3, et Aa, Aa i , ..., A| sont respectivement conjugués de lia, Ba|, . . ., B|, si Il(^) et Q(^) ont leurs coefficients réels.

On aura, comme plus haul,

\\(x) A^ A, Ba Hi

(^(j-; {a «)^ X — a ix — b )^ x — ù

f^a précaution à prendre est de réunir les deux derniers termes, — — et ^> avant d'intccrrer; on écrira donc

Al H| p-^1^ P — 7* /'.r-t-.ç

X — a X — b X — \ — \xl X — \ -\- \xi (x — X )* -h fx-

/• et S étant réels, et l'on intégrera comme il suit :

/r X -^- s Prix — X ) -i- .V -h r X

/' r 2(.r— X) . , .r dx

Au second membre, la première intégrale est évidemment

^log[(x-X)»-f.{x'J.

puisque le numérateur est la dérivée du dénominateur; pour cal-

culer la seconde, posous-y d'où

dx= \xdt.

Elle devient

- /* a dt s -4- r\ (s-hr/,) I -— ^ — - = arctang/.

Donc, enfin,

/rr-hs . '*, r/ ^ x» •! s -h ri or — \ , .- ---dx = -logKj: — Â)*-+- ji'J H arc tang .

Quant aux termes ; ^^— tt) ; ^ttt:» od les intéffrera direcle-

^ (x — a)« (x — fc>)« °

ment; la somme des deux intégrales correspondantes sera évidemment réelle.

203. Remarque. — Dans le cas des racines imaginaires conjuguées, X -f- [jLi, ). — ^ ikij d'ordre a, on peut aussi mettre les termes qui correspondent à ces deux racines, dans la décomposition

de y: — - en fractions simples, sous la forme

Supposons, en effet, que Q(:r) contienne le facteur (x — >,)*-{« tx^ à la puissance a, de sorte que

Q(.r) = Q.(:r)[(^-X)*-f.jxî]^ et considérons la différence (où/?a et q^. sont des constantes)

Q(x) \{x — X)«-h Ht«]^' qui S'écrit

On peut déterminer /?« et q^ de manière que le numérateur contienne en facteur i^x — )v)*-h-[jl2, c'est-à-dire s'annule pour X = )» + [jLi et :r = X — [ji/, et les valeurs obtenues pour /?a et q^ sont réelleSy comme on le reconnaît de suite en les explicitant. Elles sont, de plus, finies. Alors, la différence considérée devient une fraction rationnelle où (a: — X)^ + [x^ ne figure plus au