CHAPITRE I. — INTEGRALES INDEFINIES

Pour calculer les A, posons a: = I-|-/^; le premier membre devient

i-h6A -hi5A*

car la racine étant triple, on n'a besoin que des trois premiers termes en h au numérateur et au dénominateur (n° 200, 2**). Faisons la division, suivant les puissances croissantes de h :

n-6A + i5/i« I 8-+- I9.A-+-GA*

ih

Donc

On calculerait de même les coefficients qui correspondent à la racine — i. Il est plus simple de les obtenir directement; on a

8 (a:— i}3 iG(ar— i)« ' i6j: — 1 B:^ Bj B,

3a:»— 3ar«-f-i

(a7-hi)' (j:-T-i}* J7-+-1

(Changeons x eu — x^ le premier membre ne change pas; pour que le second membre reste aussi le môme, il faut évidemment que

Donc enfin.

16 {x — \Y 16 {x — \) 16 II 91 i5

lG(J7 -+-!)' I6(J7H-I) 16

,log(a: — i) log(a:-+-i).

206. Cas particuliers. — Dans certains cas, Tapplicatlon de la méthode générale peut être notablement simplifiée.

Exemple I. — Soit à calculer j /(x)dx^ /(^) étant une fraction rationnelle en Xy impaire, c'est-à-dire changeant de signe avec X. Alors - f{x) sera une fonction paire et dépendra, par suite, rationnellement de x^, de sorte que

©(^) étant rationnel. Pour intégrer, on posera

d'où

I /{x)djr= j o{x^)xdx= i i ^(t)dty

ce qui simplifiera les calculs ultérieurs, car la fraction rationnelle o{t)y à décomposer en éléments simples, a ses deux termes respectivement de degré moindre que les termes de/(:r).

Calculons ainsi l'intégrale J = / — — ^ — r^; on a, en posant

X^=: ty

La décomposition en éléments simples donne :

J = -logf -H - lOg(^-hl) = - log-z 1 .

© étant une fonction rationnelle de x^ (il n'est pas même nécessaire que m soit entier). On écrit l'intégrale

si Ion pose a:'"= /, x"^ ^ dx = —dty elle devient

mj t

et l'on est ramené à intégrer une fraction rationnelle en i.