Exemples. — 1° Dans ce tjpe rentrent les intégrales

très fréquentes //(^r, y/a.r -+- i) rf.r, f/\'^^\/~~~^ — '/j^^y

qu'on ramène aux intégrales de fonctions rationnelles en posant respectivement

Ainsi, dans

ex -r- d

on posera

x-^\ . /«-+-i , —itdt

= ^'f ou X — — » dx = r—l -,-

intégrale qu'on traitera comme an n" 207 ou au n** 208.

^c/x\ on a à intégrer une fonction rationnelle

de X et de x* ; on posera donc

X — /''•, dx = Cit^dtj

et Ton sera ramené à calculer

ai6 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

3* Soît encore

r dx

On pose .r 4- 1 = t^t et l'intégrale devient

r tdt

ce qui se calcule sans difficulté par la décomposition en fractions simples.

2H. Différentielle binôme. — C'est la difl'érentielle

x^(a -^ bx'^)Pdx (a, 6|o),

où ntj /i, p sont des nombres fractionnaires, positifs ou négatifs. En général, on ne sait pas l'intégrer, mais on peut la ramener au type précédent, et par suite Tintégrer, dans trois cas particuliers. Posons

x'* = /, X = f' dx = - l" dt\

rintégrale de la différentielle binôme devient

- I t " {a-^bt)Pdt,

Elle est du type (i) :

r' Si p est entier, car on a sous le signe / le produit d'une fonction rationnelle, [a -\- bt)P^ par une puissance fractionnaire

de /; SI — -— =:^ -» r ei s étant entiers, on intésrrera en posant

2" Si est entier, car on a le produit d'une fonction ra-

tionnelle, ^ " , par une puissance fractionnaire de ^ -h 6^; on intégrera, si />=»/• et 5 étant entiers, en posant (a +6/)*= z\

3" Si \-p est entier, car on peut écrire la quantité à