Soit à calculer l'intégrale

où /est une fonction rationnelle de x^ y^ et où y représente le

radical

y r= ^ax*-\- ibx -^ c.

Je dis qu'on peut la ramener à l'intégrale d'une fonction rationnelle par un changement de variable; il suffirait, pour cela^ qu'on pût exprimer x et y en fonction rationnelle d'un paramètre /,

on aurait alors dx ^= ^dt, 'f'(t) étant aussi rationnel, et il est

clair que l'intégrale (2) se ramènerait à la forme / F(/) dt^ F étant

rationnel en t.

Tout revient donc à exprimer rationnellement a: ety, si c'est possible, en fonction d'un paramètre t. Or la courbe

y = ^ax'^-\- ibx -\- c

représentant une conique, l'expression est possible, car il suffit, comme on sait, de couper la conique par une sécante mobile, de coefficient angulaire /, passant par un point fixe pris sur la courbe, pour obtenir a: et ^ en fonction rationnelle de t,

213. On saura donc intégrer les expressions du type (2); dans chaque cas particulier, on choisira le point fixe de manière à simplifier les expressions de x^y en fonction de /. Par exemple :

I" Si le polynôme ax'^ -{-'?. h x -\- c^=o a ses racines réelles.

2l8 DEUXIEME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

a et 3, on pourra prendre pour point fixe le pointy = o, j: = a, situé sur 0.r. On posera donc

et cette sécante mobile coupera la courbe y- z= a{x — a) (x — P) aux points dont les x vérifienl Téquation

En supprimant le facteur (x - - a), qui correspond au point fixe,

on trouve

d'où Ton conclut :

= t(x — aL) = t-^

expressions cherchées de x et y en fonction de /.

Il est clair qu'on peut remplacer, sans changer la forme ralion-

nelle, —^= par 8, c'est-à-dire que Tinlégrale proposée (2) devient

yzha

celle d'une fonction rationnelle de 0 par la substitution

OÙ a et p désignent les racines- du trinôme sous le radical (*), ax^-r- 'j.bx + c.

2" On pourra prendre pour point fixe un des points où la courbe coupe Taxe des y :

x = o, y = }Jc\

(' ) Cela revient à un procédé indi<fuéau n*210. Carie radical v'a^''-t- 26J? -4- c

pouvanl s'écrire v/a( a; — a) (x — fi ), ou {x~%) 4/ a ^> on a à intégrer

une fonction rationnelle de x et de i / a -<, ce qu'on pourra faire (n" 210)

en posant

:= rt t\ X — <x