CHAPITRE I. — INTEGRALES INDÉFINIES

La première est évidemment -y/a c-* -h A*; reste donc à calculer

dz

J Jaz'^

Pour n'introduire que des quantités réelles, distinguons plu sieurs cas.

i" rt >> o. On écrit

2" a <C o, mais k >> o. On écrit, en posant a = — a',

/rfz r 1 û?3 I . / - --- = / —-^ — - = - — arcsin/ —

^-.a'z^-hk J /«' /A- , /a' ( , Z^-

/dz — — '^ y/^i^-hk

SOUS forme réelle, puisque la différentielle est imaginaire. On écrira, comme dans le premier cas,

/dx (x — \)\/ax'-\- i

(x — 'k)^ax'-\' 'ibx -¥- r

On applique la méthode générale, en coupant la conique

y^= ax^-h '?.bx -h c

par des droites issues du point de coordonnées X et [jl, étant posé

p. =v/a)w^-i- '2bl-h c.

Posons donc

d'où

y/ax^-r- ihx -i-c= [i-t-/(a? — X).

Élevons au carré, et observons que t<.^= d)<^-\- ib\-\- c :

'l-Xl DEUXIEME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTEGRAL.

Supprimons le facteur x — X qui correspond au point fixe; il vient, pour exprimer x en fonction rationnelle de /, la relation

(2) /'(a: — X)-h 2fi/ = a(j7-i-X)-h a6.

Il faudrait résoudre par rapport à or et en déduire dx en fonction de cit : il sera plus simple de différentier sans résoudre, ce qui donne

d'où

l/inlégrale cherchée, I, est

r dx

on a donc

~J y i — X "^ J '(^~a){x- X)' Or l'équation ( *) donne

(ic — X)(<2--a)=- •2a^-+-aXa-^a6; d'où

On a donc finalement, en remplaçant ix par sa valeur y/«A--+- 'ib\-\- c cl t par sa valeur tirée de (1), à savoir

y — y^ y/ax^-^- >.bx -r- c — fji

dx

i/al^-^'ibl-t- c \ x — X