II. iS

•î'iG DKLXIKME PARTIE. — PRINCIPES I>f CILCUL INTEGRAL.

2^. Propriété fondamentale des courbes unicursales. — Nous avons dcfîni la courbe unicursale une courbe telle que les coordonnées d\in de ses points puissent s'exprimer en fonction rationnelle d'un paramètre t; on peut dire aussi qu'une courbe

d'ordre n est unicursale quand elle a -(/i — 0 ('^ — ^) Points

doubles, nombre maximum de points doubles que puisse avoir une courbe indécomposable de degré n,

L^identité des deux défînitions résulte des théorèmes suivants :

224. Théorème I. — Une courbe indécomposable d^ ordre n ne peut avoir plus de -{n — i) (yi — a) points doubles.

Supposons, en effet, qu'une telle courbe C/i, d'ordre n, ait

points doubles; considérons les courbes C/,2, d'ordre n — 2, adjointes à C/i, c'est-à-dire passant par ces points doubles.

L'équation générale des courbes d'ordre /« — 2 contient, 5or/5 forme linéaire et homoffène, un nombre de coefficients égal

à -(/i — l)/^; celle des courbes C,/2 c" contiendra donc, sous

la même forme, un nombre au moins égal à

c'est-à-dire n — u : on pourra donc faire passer une de ces courbes par n — 3 points choisis arbitrairement sur C,/, car on a à écrire pour cela n — 3 équations, qui sont linéaires et homogènes par rapport aux n — 12 coefficients inconnus, et qui par suite ont toujours au moins une solution. La courbe C,/2 ainsi déterminée coupe dès lors la proposée, C,i, aux points doubles de celle-ci et en [n — 3) autres points simples, ce qui donne, au total, un nombre de points d'intersection égal à

-in — [)i n — 2 ) -4- 1 4- /i — > — m n — :

puisque chaque point double équivaut à deux points d'intersec-