CHAPITRE I. — INTÉGRALES INDÉFINIES

lion. Or une courbe d'ordre n — \k ne peut couper une courbe C„, d'ordre /i, en plus de n{n — 2) points, que si elle fait partie de d ou si elle se décompose en courbes dont l'une fait partie de G/* : dès lors la courbe C« proposée n'est pas indécomposable, contrairement à l'hypothèse.

Donc C/i ne peut avoir plus de - {a — i) (/* — 'i) points doubles.

22i). Théorème II. — Une courbe indécomposable d'ordre /i, qui a -{n — i){n — à) points doubles, est unicursa/e.

En effet, les courbes C//2, adjointes à G//, dépendent, sous forme

linéaire et homogène, de - n{n — i) (n — 1)(/< — 2)= n — 1

coefficients. Gelles d'entre elles qui passent par n — 3 points simples, pris sur G^, ont donc une équation de la forme

A et jjL étant des coefficients arbitraires (*); elles coupent G« aux (/i — 3) points simples et aux -(n — i)(/i — 2) points doubles, ce qui donne un nombre d'intersections fixes égal à

( n — }) '- -2, ou n{n — a ) — i .

Dès lors une quelconque des courbes (i) ne coupe C,,, en dehors <les points fixes, qu'en un seul point mobile; d'après la théorie de l'élimination, les coordonnées de ce point sont des fonctions rationnelles des coefficients qui figurent dans les équations des deux courbes; ce sont donc des fonctions rationnelles du para-

mètre -" c. o. f. d.

(<; Toujours parce que la condition dépasser par des points donnés établit des relations linéaires et lioniogriies cuire les cocflicienls de rt'(|uatioii d'une courbe.

228 DKL'XIÈMH PARTIK. — PRINCIPES DU CALCt L INTEGRAL.

226. Théorème III. — Une courbe unicursale indécomposable d'ordre n a -in — >) (^ — i) points doubles.

Tout d'abord, on peut admettre que la droite de rinfioi coupe TuDicursale proposée, dWdre /i, en /i points distincts; dans le cas contraire, il suffirait de substituer à la courbe donnée sa perspective sur un plan convenable, perspective qui est évidemment une . courbe unicursale de mémo ordre et d*autant de points doubles que la proposée.

Soient alors ^Ti, r/^, . . ., a^ les valeurs du paramètre / qui répondent aux n points à Tinfini de Tunicursale; en posant

F(/) = {t — ax) {t -' at), , ,{ t — an),

les coordonnées, x et y^ d'un point de la courbe auront une expression paramétrique de la forme

, s fit) ç(0

y(/) et C5(^) désignant des polynômes en t. Ces polynômes sont d'ordre n^ au plus, puisque la courbe doit être coupée en n points par une droite quelconque ax -\-by -{- c^= o. Nous pouvons même admettre que f{() et r^{t) sont d'ordre (/i — i) au plus : il suffit de prendre pour origine le point de la courbe qui répond à la valeur ^ = oo du paramètre; alors x ei y devant s'annuler pour tz=^GOj il faut bien quey(^) etcp(^) aient leurs degrés respectifs inférieurs au degré n de F(/).

Cherchons maintenant à déterminer les points doubles de la courbe (2) : il est clair qu'à un point double correspondent deux valeurs différentes du paramètre t, et réciproquement; pour trouver ces points il faut donc chercher les solutions, en teiu^ communes aux deux équations

Or /(O a^y"^ î>^" degré inférieur à celui de F(0, on peut

CIIAPITRi: I. — INTEGRALES INDEFINIES. Jtog

décomposer =r: — eo fractions simples sous la forme

/(O Al At , A„

F(/) f — ai t — at t — On

De même on a

F(/) < — ai / — «/»

Les équations (3) s'écrivent alors, en groupant les termes analogues en t et u^

A 1 ■ —h" • • • "T~ * V II ; — O »

(/— ai){u — ay)

Supprimons la solution, évidente a priori, t = Uy qui ne donne pas de point double ; il reste, en posant ^ 4- // = 5, tu^= p :

\ p — sat-h a\ p — 5«/4-+-aJ

A un point double répond un et un seul système de valeurs de py s vérifiant ces deux relations, et réciproquement; le nombre des points doubles est donc égal au nombre des systèmes (/?, s) donnés par les équations (4)-

Chassons les dénominateurs dans ces équations ; nous obtenons, en p et 5, deux équations d'ordre n — 1, qui ont (n — i)^ solutions communes; mais en chassant les dénominateurs, nous introduisons des solutions étrangères à (4)7 à savoir les valeurs de p et s qui annulent deux quelconques de ces n dénominateurs.

Or, on peut grouper ceux-ci deux à deux de - n{n — i ) manières,

à chacune desquelles répond un système (/?, 5), puisque les dénominateurs sont linéaires en p el s; le nombre cherché des solutions vraies est donc

,/| 1^5 fi{ fi IX = (,i,»(,i 2).

a3o DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

c'est-à-dire qu'une unicursale d'ordre /i a -(/i — 0('' — ^) points doubles. c. q. f. d.