Application. — Soit l'équation

(5) (^«4-j«)*=rt*(a:«— j^«);

c'est celle d'une lemniscate, courbe d'ordre quatre qui a trois points doubles : l'origine et les deux points circulaires à l'infini. Elle représente donc une courbe unicursale, et Ton peut exprimer les coordonnées x, y en fonction d'un paramètre X.

Appliquons pour cela la méthode du n** 225. Les courbes adjointes d'ordre n — i sont ici des cercles passant par l'origine; ils coupent la lemniscate en un nombre de points mobiles égal à 2.4 — 3.2=2; considérons ceux d'entre eux qui passent par un point fixe de la courbe, ceux par exemple qui touchent, à l'origine, la droite^ = x, tangente à Tune des branches de la lemniscate; leur équation est

(6) xî-h j*-h X(a: —y) = o,

et chacun d'eux coupe la courbe en un seul point mobile. L'abscisse j: de ce point s'obtient en éliminant^ entre les relations (5) et (G); on a, en combinant ces deux équations,

et, en supprimant le facteur [x — y)^ qui correspond à des points communs fixes,

\i £iî

\^{x — y) = a^{x-\-y), d'où 7 = ^^T:p^'

Portant celle valeur de^ dans (6), on obtient l'équation en x :

'i-x-—:— -— - -- Ix ^— = o.

D'où, finalement,

y = .r T . = — (i^ A rr r

IMIAIMTRK I. — INTK(iRALRS INDKFINIKS. •>{!