III. — FONCTIONS TRANSCENDANTES QUE L'ON SAIT INTÉGRER

1° Fonctions rationnelles de sinj? et cosx.

î228. Pour intégrer j /(s'uir^ cosjr)dx^ où /est une fonction

rationnelle, il suffit de poser

d'où

T = 'jiarc lanjî/, a.r = 1

sinx= -, t 05J7 — -j

rationnelle de /, puisque sjn.r, cost, -i- sont rationnels en t.

et l'intégrale proposée se ramène ainsi à l'intégrale d'une fonction

dr dt

/dx — — devient, par la subsli- Slil X

tullon ci-dessus :

J siii.r .7 l-r-/2 -xt J t ^ '

donc

/ -. — r= log(tan<;- ).

Changeant x en - --- x^ on a la formule analogue :

— / = 10": tang ( -7 — ) •

On calculerait, par le même changement de variable, l'intégrale

il vaut mieux la ramener à une quadrature précédente, en posant

'Jt't'À DKtXlKMK IMHTIK. — PRINCIPKS IM CALCIL INTKCRAL.

ce» qui donne

. __ rcos^ dx J h sin(j:4-ç)

= -- log (^ung -^ j = ^^__ log (uns -^ j . 1^ De même on a, si m désigne un entier positif,

r dx ^ r(i-t-r«)^-'^^

ce qu'on calcule immédiatement, en développant le binôme du

numérateur, et en divisant chaque terme par V^,

/dx — -^ se présenterait, après le changement de variable, sous une forme plus compliquée, car il y aurait en dénominateur (r — Z^)'"; il vaut mieux la déduire de la précédente,

préalablement calculée, en changeant x en — — x.

230. Remarques. — Souvent un changement de variable plus simple que le précédent permet d'arriver au même résultat; voici, à ce point de vue, les cas particuliers les plus fréquents.

i" Si y(sinj:, cosj:) est une fonction paire par rapport ù sinj; et cosx, c'est-à-dire si elle ne change pas quand on change simultanément sin j: et coso: en — sin^ et — cosj:, on posera

tan«;j7 = /, jr = arc tang/,

d'où

, df . e

dx = -* sinar= — 1 cosj? =

et, dans la fonction /(sln:r, cosx) -^ /( --=^} , )» le

radical y/i 4- ^^ disparaîtra, puisque, en vertu de l'hypothèse, il ne figurera qu'à des puissances paires. L'intégrale 1 f(smx^cosa:)dx sera donc ramenée à l'intégrale d'une fonction rationnelle de /.

2° Si y(sinx, cos^r) est une fonction impaire en cosx, c'està-dire si elle est de la forme F(sin^,cos2.r)cosx, Fêtant rationnel,

on posera

sin J" — /,