Exemples. — (a). Soit / — ^ , . ^ r-r

On a à intégrer une fonction paire de sinx et coso;; on posera donc (i**)

tango; ~ t,

r fir r ^^^ I -H f« r

Par exemple

J cos*j; - sin^jr J \ — t- > i — / 2 i — laiigj-

Le même changement de variable donne très simplement Tin-

tégrrale / —. '— — > où m et n sont entiers et positifs, et

° J sin'"07cos"a7 ^ '

in H- n pair, car cette intégrale devient

(O). boit / — rr= / —

^ ' ,7 lang-'j' ,/ siii-

On a à intégrer une fonction impaire de cos j:, et Ton posera (2")

siïiJT = /,

d'où

/'//.rcos'.r /•ros'.r('rns;r r/.r) r(i — t-

s'in^x J sin'wT J t^

'•//.rcos'.r /•ros'.r('rns;r r/.r) fd — t-)df 1 i ,

— — — — \o*jt.

et finalement

dx I I

— loff sina*.

lang'jT 2 sin*a? ^

•Xii DEUXIKMR PARTIE. — PRINT.IPKS f)V CALCrL INTEGRAL.

Si Ton avait eu à calculer / lang'xrfx, il eût mieux valu (3**)

poser cosx = /, pour n'avoir toujours que t^ au dénominateur de la fraction rationnelle en t.

(c). Soit enfin / sin^xdx.

On pourrait prendre cQnune variable tangx, mais le calcul serait assez compliqué, car on aurait, au dénominateur de la fraction rationnelle en ty le facteur (i -t- /^)'. Il vaut mieux intégrer par parties :

/si„Vr</x=/si„.x(si„xrfx)

-- — sin'.rcosj' -•:- 3 / ^In^xdx — 3 / f'in^xdx. Donc

4 / sin*j-^^— 3 / sin^xdx — sin'j?cosa~

— - / (i — cosjLx) dx — sin'xcosx 3 3 .