CHAPITRE I. — INTÉGRALES INDÉFINIES

difTérenlielle rationnelle de t par la substitution

d'oii

nix=\oç^t. dx m ,

et par suite

Exemple, — Soit / \^ dx ; on pose 6'*=/, et l'intégrale devient

rt-\-\ dt r j» I ^ I — ' \ I ï .

233. Remarque. — Une fonction rationnelle de sino? et cosx est, à cause des relations

sinr = . = — r—. — >

'Il 'iie'-^

cosar — — . — y

une fonction rationnelle de e'-^. On pourra donc l'intégrer, non seulement par les méthodes des n°* 228-231, mais encore par celle du n** 232, en posant e'**'= t. Au cours de ce calcul, on profitera de toutes les simplifications qui pourront se présenter.

Exemple. — Soit / co^^xdx; on a

/cos^ a^ dx — - / ( e'-^ -h e-'-'^ )'* dx

— -^ j [e^^-^ -^ e-^'-' T- i{e^i^ -^ e-^f-'')-i- a\dx

= -:t I 2C0^.^x dx -^ —7 / ico^'xx dx -^. — - 1 dx

— — sin4.i^ H- , sin2.r-f- --x.

En réalité, on n'a fait, par ce calcul, qu'exprimer cos^x en fonction de cos4^ et cosaj?, selon la formule (8) du u** 133. D'une manière générale, les formules de ce uuméro, qui

uSC) ni:rxiK.MK partie. — principes nu calcul intégral.

donnent cos^'o: et sin^'jr, pour m enlier et positif, en fonction linéaire de cospx etsinpx^ permettent d^effee tuer iminédiatemeni

les quadratures / cos'"x dx, 1 sin"* jc dx.

3" Polynômes entiers en x^ e*^. e**^, . . ., sinaj?, cosa^, ....

234. On remplacera d^abord les sin et cos par leurs valeurs en exponentielles

gxix g— a/j- ^«/x f g— a/x

sinar= ; > cosar = > • •>

'Il 2.

et Ton sera ramené à intégrer un polynôme entier en Xj e^^j e*-^, e*'-*^, e'^^-^j . . . , c'est-à-dire une somme de termes de la forme xPe"^, Tout revient donc à calculer l'intégrale

p étant un entier positif et a quelconque. Or on a, en intégrant par parties,

/ xP{€^'dx) — x/'^ ^ / e'*-^xi*- * dx,

En répétant cette réduction, on ramènera I^ à Pintégrale I,, :

\^= I e'^-'dx :^ -e«-^,

et le problème sera résolu.

Après le calcul, on remplacera, dans le résultat, les exponentielles imaginaires par leurs valeurs en sin et cos, de manière à n'avoir que des quantités réelles.

Remarque, — Le calcul de \p peut se faire d'un seul coup en appliquant la formule d'intégration par parties généralisée du n" 193 :

/ vu^'*Uix = mI«-»V — Mi«-*'v^'-f- a^'»-*'

lUfin) ^x.