Exemples. — i" Soit 1 e^cos^jc dx. Ecrivons

2 I -+- 2 1 x \ — ii

e* /cos2.r -+- t sinaj* cosax — tsinajrX ~" 2 \ I 4- 2 i ~^ I — 2 t /

lO

On aurait pu aussi intégrer par parlies :

/ cos'î.x{e'dx) = e^QQ%'ix-\- i 1 e^sin^x dx, 2 / sin'xx(e^dx) = 2e-^sin2ar-- 4 / e'cosixdxj et, en ajoutant membre à membre,

2" Soit encore 1 x-cosx dx.

Au lieu d'appliquer la méthode générale, on peut intégrer par parlies :

I x^icosd: dx) = x^s'iux — / -ix ^ii\x dx.

•>/i8 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉUBAL.

De même — 2 I xis'inxdx) = 'ixco^x — 2 / cosx dx = ixcosa: — ssinx.

Donc enfin

I x^cosx dx = x*sina: -h axeoso; — asin^r.

4"* Polynômes entiers en x et logo:, ou en x et arc sin j:.

236. i" Pour intégrer un polynôme en lier en x et logx, c'està-dire la différentielle a:'"(logx)^r/x, où m et /> sont entiers, on posera

loj^a: = /, d'où x^e^, dx =z e^dt.

Il viendra

intégrale que Ton sait calculer (n^ 234); il n^est même pas nécessaire pour cela de supposer m entier.

2** Pour intégrer un polynôme entier en x et arcsinj:, c'està-dire la différentielle d;'"(arc ?\nx)Pdx^ on posera de même

arc sin.r = /, iVoii x = sin/, dx = cos/ dt. Il viendra

I x"^ {ixrc s'in X )f* dx — 1 //'sin"»/ cos/<//,

et Ton sait aussi calculer la dernière intégrale (n® 23-i).

Exemple. — Soit 1 (^rcsinx)'- dx.

On aura

/ (arcs\nx)^dx = 1 /-cos/ <// ~ /*sin/ -h vî/ cos/ — asin/,

d'après le n° 233, 2°; d'où

/ (are. s\i\x)'dx = x{ arc sinjr )2-i- ^(arc sinu?) y^i — x^ — 2X.

CIIAPITRK II. — IIKDLCTIOX l/l.NTÉCiRALES INDÉKIMKS. 239