Soit X un polynôme en x, de degré supérieur à deux

s\ /{x^\/\) est une fonction rationnelle de x et de ^X, on désigne sous le nom à'' intégrales hyperelliptiques les intégrales du type

. 1) / /(ar, \,^\)dx.

2io DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

Lorsque X est un polynôme du troisième ou du quatrième degré, l'intégrale (i) est dite elliptique : ce nom provient de ce que Tare d'ellipse s'exprime par une intégrale de la forme (i).

On peut toujours supposer que X n'a que des racines simples; car s'il y avait une racine double, «, le facteur (x — a) sortirait du radical; si a était racine triple, {x — a) sortirait aussi du radical, et il resterait, sous le radical, le facteur simple (x — a); et ainsi de suite.

239. Si le poljnome X est de degré pair iq^ on peut, par une substitution rationnelle, le ramener au degré a y — i.

Soit, en effet, a^ une racine de X; on a

Faisons la substitution

/= ♦ ou X = a\-\ — :

X — Ui t

on aura

v/x =i/y Ui-^2^- fj'-f^i — ^î^-^j)

= r, /l'(«l -<'2)H-l]---l'(«l-- ^iq)-^^\y

et le polynôme en /, sous le radical, est d'ordre 2*7 — i. Désignons-le parT; il vient

//U,/X)rf.--/'/(a.-^l,;yT)^=yoa/f)rf/, ç étant une fonction rationnelle de / et de y/T. c. q. f. d.

240. On a donc le droit de supposer que le polynôme X est de degré impair 2/7 + 1 ; celte hypothèse, d'ailleurs, n^interviendra pas jusqu'à nouvel ordre dans les calculs suivants, qui s'appliquent aussi bien au cas où X est de degré pair.

2iJ. Première réduction. — Un polynôme entier quelconque

en X et en y/X se met évideinnient sous la forme M H- Ny/X, où .M et N sont des polynômes entiers en x; car toute puissance paire