CHAPITRE II. — RÉDUCTION d'iNTÉGRALES INDÉFINIES

du radical est un polynôme entier, toute puissance impaire est le produit du radical par un tel polynôme. Une fonction rationnelle

en X et ^X étant, d'après sa définition, le quotient de deux expressions analogues, sera de la forme

Multiplions le numérateur et le dénominateur du second

membre par P — Q ^X pour rendre le dénominateur rationnel; il vient

fi^ ./Y^ - (M-f-N/x)(P-~Q/x) __ AH-By/X

/v^» y^) — pj Qîx — G '

A, B, C étant des polynômes entiers en x. On a ainsi, pour l'intégrale proposée (i),

L'intégrale f j^dx est celle d'une fonction rationnelle de x^ qu'on sait calculer; il reste donc à étudier l'intégrale / ^ ^/Xrfx, qu'on peut écrire / — ^ dx^ ou

(2) / — T=dx,

C et D étant des polynômes entiers en x^ et le radical ^/X ne figurant qu'au dénominateur.

Décomposons maintenant en éléments simples la fraction rationnelle -j;', l'intégrale (2) se ramènera à une somme d'intégrales des deux formes suivantes :

dx dx

/dx \x — aY>J\.

n désignant un entier positif quelconque. Une seconde réduction H. 16

va nous permettre de ramener les intégrales (3) et (4)9 que nous désignerons par l„ et J/,, à un nombre fini d^entre elles.