Seconde réduction. — Considérons d'abord Tlntégrale

dx

(3) i«=rx«

pour la réduire nous partirons de l'identité

„ -xP\'-i-pxP-^X (5) {xP)/\) = pxP-^y/\+-xP^ = 'i ,

où /? désigne un entier positif ou nul, quelconque.

Soit h le degré du polynôme X; le numérateur, au dernier membre de (5), est un polynôme de degré h^p — 1, où le coefficient de^*"*"^"* n'est jamais nul; car si l'on pose

on a

]-xP\' -^ pxP-^\ = Ao( - h -\- p^x^-^P-^-^.. .,

et la quantité -h -{- p est toujours positive, puisque h > o et /> 1 o.

L'identité (5) s'écrit, en ordonnant, suivant les puissances décroissantes de Xy le polynôme numérateur du dernier membre,

{xP)/\) =0L 7=— ^-p — 7^- H-...-+- -7-,

a, p, . . . , A étant des constantes dont la première n'est pas nulle. Intégrons maintenant les deux membres; il vient

relation qui donne Ih+p-i en fonction des intégrales d'indice inférieur, pourvu que p soit ^o.

Faisons successivement y> = o, i , 2, . . . , dans cette relation ; elle permettra d'exprimer les intégrales I>i<, Ia, ly^^.!, ... en fonction de I>i 2, I>i«3, . . . , Iq ; en d'autres termes :

Les intégrales I„ se ramènent à {h — i) d'entre el/es, à savoir I^? Ii? • • . ? 1^-2-