Considérons en second lieu Tintégrale

Nous partirons, pour la réduire, de ridentité

où /? désigne un enlier positif, au moins égal à un. Au dernier membre de (6), le numérateur est un polynôme d'ordre A, ç(^), que nous pouvons ordonner suivant les puissances croissantes de or — a\

et il est à observer que <p(a) n'est pas nul, à moins que a ne soit une racine du polynôme X. On a, en effet,

ç(a7) = -(j7 — a)X' — /?X, ç(a)= — p\(a). Si donc a n'est pas racine de X, l'identité (6) s'écrit

F(jr) étant un polynôme entier en x^ qui n'existe d'ailleurs que si h est au moins égal à /? + i • Intégrons maintenant les deux membres de (7); il vient

'{^-ây* =?(«)J/'-M-+-?'(a)J,, -+-...,

les termes non écrits renferment des intégrales J, d'indice inférieur à />, et pouvant aussi renfermer des intégrales I, si /? -f- 1< A. Cette relation permet, puisque f («) n'est pas nul et que p peut partir de la valeur m/i, d'exprimer J2 en fonction de J< et d'intégrales I, puis Js en fonction de J2, J| et des I, et ainsi de suite. En d'autres termes :

Si a n'est pas racine du polynôme X, les intégrales J« se ramènent à l'intégrale J<, et aux intégrales I,,.

a44 DEUXIEME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

Reste à discuter la réduction des J;i lorsque a est racine de X. En ce cas, f (a) est nul; mais f'(a) n^est pas nul. Car on a

ç(ar)= i(a7-.a)X' — /?X;

d'où

Or X'(a) n'est pas nul, puisque X n'a que des racines simples

(n° 238), et p n'est jamais nul, puisque p est entier.

L'équation (7) s'écrit alors

r y/X y^ ji^a) ^ ^ ^'(^> ^ ^ ^Fj>)

\{x — ay\ (ar a)/'v/X (a? — a)P-VX '" /X

et, en intégrant,

-— î- — - =z= cp'(a)JpH-..., (a: — a)/» t v / f

les termes non écrits renfermant des intégrales J d'indice inférieur à/>, et pouvant aussi contenir des intégrales I, si /? 4- i = /i.

Cette relation, où l'on donne à p successivement les valeurs I, 2, . . ., permet d'exprimer J|, Jj, . . . , en fonction des intégrales I; donc.

Si a est racine du polynome^^ les intégrales in se ramènent aux intégrales !«.