Ce cas se ramène au précédent par un changement de

!l46 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTEGRAL.

variable (n^ 239); en raison de l'importance pratique de cette réduction, nous allons indiquer diverses méthodes pour l'effectuer.

On distinguera deux cas : celui où le polynôme X est bicarré, et le cas général.

247. Polynôme bicarré. — Soit Tintégrale elliptique ramenée (n«241)à la forme

dx,

où 1L = mx*-\-nx^ 4-/>> et où P et Q sont des polynômes en x.

Multiplions, sous le signe /, les deux termes de la fraction parle

polynôme Q( — x); au dénominateur, le produit Q(^)Q( — ^) est un polynôme pair en a?, c'est-à-dire un polynôme en a:^, K (x^) ; au numérateur, dans le produit P(^)Q( — x), réunissons les termes de degré pair et ceux de degré impair en x, nous aurons ainsi

r P rG(x^)-^xU(x^) dx

J Qv/X " J K(a?î) /mar* -h nar> -+-/>'

G, H, K étant des polynômes en x^. Posons x^=yj d'où dx = — ^j et xdx= -dy; il vient

fJ^dx=. If J Oi/X 2j

Au second membre, la seconde intégrale ne dépend que d'un radical portant sur un polynôme du deuxième ordre; on sait donc la calculer par les fonctions élémentaires (n°212). La première intégrale est elliptique; et le polynôme sous le radical, à savoir

y{my^^ny '\' p)

est du troisième ordre. La réduction est donc effectuée.

On aurait pu, dans ce calcul, au lieu de poser x^^ y^ poser

a:^= -; les résultats eussent été analogues.