CHAPITRE II. — RÉDUCTION D*1NTÉGRALES INDÉFINIES. 'lij

218. Polynôme général. Première méthode. — C^est celle du n" 239. Soit a uae racine du polynôme X; on aura

^ dx, on posera

X — a d'où

ay-hi . , dy X = --^ , dx — 4-

ce qui donne

inx*-\- nx^-\- px -h q

d'où

rPU) dx^ r \ y J dy ^

et Ton est bien ramené au cas d'un radical portant sur un polynôme d^ ordre trois.

Celte méthode convient quand a est une racine réelle du polynôme X; les calculs précédents n'introduisent alors que des quantités réelles,

2i9. Seconde méthode. — Supposons le polynôme X décomposé en deux facteurs réels du second degré, ce qui est toujours possible quand les coeffîcients de X sont réels :

X =(aar*-+- -ibx -\- c){mx^-\- 7.nx -h p).

Si les quatre racines A, [jl, //, [jl' du polynôme X sont réelles, on fera en sorte que les deux plus grandes, \ et p., soient racines du premier trinôme, ax^-i-ibx -^c\ si deux racines sont imaginaires conjuguées, elles seront nécessairement les racines d'un même trinôme.

Cela posé, on va chercher à effectuer un changement de varia Ltionnel et réel, de manière à ramener H à la forme bicarré

Distinguons deux cas.

Premier ca^, — Si Ton a

Q écrira

an — bm = o,

t il suffira de poser

our avoir

e qui est bien une forme bicarrée.

Second cas. — Si l'on a, au contraire,

an — bm ^o,

n posera

d'où dx = ^ dv*

L et ^ étant des constantes. Il vient

;*-— 5v/[«(3tr-+-P)*-^2*(r-^0(a7-^P)-+-c(j^4-i)»J[m

Choisissons a et ^ de manière à annuler, sous le radical, le coefficient dey dans chacun des deux facteurs entre crochets; le Doljnome sous le radical deviendra bicarré en j^. On a ainsi

aap-H6(a-T-P)-i-c =o, m ap H- n( a -i- p ) -h /? = o,

^uations qui donnent linéairement a^ et a-^- p, car le détermilant an — bm n'est pas nul, par hj^pothèse. On en déduira les valeurs de a et ^ par une équation du second degré : je dis que