CHAPITRE II. — RÉDUCTION d'iNTÉGRALES INDÉFINIES

ces valeurs seront distinctes (*) et réelles. On a, en effet,

f. cm — ap rt àp — en

^ an — bm ^ an — o/w

et, pour que a et ^ soient réels et distincts,' il faut et il suffît que Ton ait

{cm — apY — i(bp — cn)(an — bm)'^ o.

Le premier membre de cette inégalité, égalé à zéro, exprimerait que les deux facteurs en lesquels on a décomposé le polynôme X, à savoir

aar^-\- ibx -\- c^ mx*-h 2/1 ar -+-/?,

ont une racine commune. Si donc ^ et [jl sont les racines du premier trinôme, X'et \k' celles du second, on aura, diaprés la théorie de Télimination,

(cm — ap^) — 4(^/^ — cn)(an — bm)

= a'^m^(\ - X')(X - |x')(HL- V)(,x - fi'),

identité que Ton peut aussi vérifîer directement, en développant le second membre et remplaçant les sommes et produits )w 4- jjl,

Xix, X'-h ui', X'ui' parleurs valeurs, — --? --» » —•

n * r T ^ r ^ a a mm

Or, d'après les hypothèses faites plus haut, l'expression

a»/n»(X - V)(X - ,x')(fx -- X' )(|JL - fi')

est positive : car, si les quatre racines A, a, X', [x' sont réelles, X et u sont, par hypothèse, les deux plus grandes; si X' et [jl' sont imaginaires conjugués, X et a étant réels, les facteurs X — X' et X — (jl', ainsi que [x — X', [jl — jjl', sont imaginaires conjugués et leur produit est positif; enfîn si X et u, X' et \»J sont imaginaires conjugués, les facteurs X — X' et jjl — p.', ainsi que X — jjl', [JL — X', le sont également, de sorte que leur produit est encore positif.

(' j Car, pour que x^ c'est-à-dire -^ — — ^» dépende effectivement de y^ c'esi-

à-dire pour que -^ ^ ne soit pas une constante, il est nécessaire et suffisant

que a — P < o, c'est-à-dire que a et ^ soient distincts.

25o DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTEGRAL.

Ainsi, dans tous les cas, a et ^ seront réels et distincts; on aura dès lors ramené par la substitution rationnelle et réelle,

X = — -^ le polynôme sous le radical à être bicarré, et Ton a :

v/x = jj]^, v^îgJ'^^^^nîg'J^^^^h

q, /•, q'y /' étant réels. Par suite, en remplaçant dx par sa valeur (8),

On ramènera ensuile le polynôme bicarré sous le radical au

troisième ordre, par l'une des substitutions y^'=zz^ ou j'*^= -> comme au n® 247, et la réduction sera effectuée.

2o0. Remarque. — Dans le Cours de seconde année, on trouvera avantage à ce que le polynôme du troisième degré sous le radical ait ses racines réelles.

Or, la deuxième méthode précédente (n° 249), applicable au polynôme général du quatrième degré, conduit toujours à un polynôme du troisième degré à racines réelles. En effet, si l'on posey-=5 dans l'intégrale (9), et si Ton opère comme au n** 247, on arrive à une intégrale elliptique, où le polynôme sous le radical est

et a, par suite, ses trois racines réelles, puisque q^ /*, q\ r' sont réels.

Cette remarque s'applique aussi au premier cas du n° 249-

Dans le cas où le polynôme du quatrième degré est donné d'abord sous la forme bicarrée générale,

on a vu qu'en posant x'-^=.y on obtenait, sous le radical, le polynôme du troisième ordre

yimy^-^ ny -^-p),