CHAPITRE II. — RÉDUCTION d'iXTEGRALES INDÉFINIES. * a5l
qui n'a ses racines réelles que si la quantité n^ — ^mp est positive. Dans le cas où elle est négative, pour arriver à un polj^nome du troisième ordre à racines réelles, il faut appliquer la méthode générale du n** 249, en décomposant d'abord mx* -i- nx^-\-p en deux facteurs réels du second degré.
Enfin, si l'on donne d'abord sous le radical un polynôme du troisième degré a^^ant deu& racines imaginaires conjuguées, on ramènera ce cas à celui d'un polynôme général du quatrième degré
en posant x = - - > et l'on appliquera ensuite la méthode du n" 249.
Par exemple l'intégrale
deviendra, par ce changement de variable,
y/y{yZ^l)'
on décomposera ensuite J^(v^H-0 en deux facteurs réels du second degré, {y'-^y)^ {y'^ — J' + 0> ^^ ^'^^ continuera comme au n« 249.
Exemple. — Soit l'intégrale
dx
on demande de la ramener, par une substitution réelle, à une intégrale elliptique où le polynôme sous le radical soit du troisième ordre, à racines réelles.
La substitution x^^=y ne convient pas, car elle donnerait sous le radical le polynôme j' (y ^4- i), qui a deux racines imaginaires. Appliquons alors la méthode du n°249, en décomposant x* -f- i en deux facteurs réels du second degré :
Posons
et déterminons a et ^ de manière que le terme en y manque dans les deux polynômes
(atj^ -4- p)«-+- v/î (aj' -4- p) (j^ -+- l)-f-(j^ -4- 1)2,
Nous trouvons ainsi
2 «P -h /i ( a -h p ) -H 2 = o, 2ap — /2(a-i-P)-+-2 = o,
d'où
nous prendrons a = i , ^ = — i , ce qui donne
r — I , idy x—^ -, dx=- ^.
L'intégrale proposée devient alors
\\y^^7. -l-/2)-4- 2 — v/a][^'(2 — /2)-i- 2 -hV^]
posons-y maintenant
ou
nous obtenons finalement l'intégrale sous la forme demandée
dz
251. Formes normales de Legendre. — Legendre, qui le premier a étudié systématiquement les intégrales elliptiques, ne réduisait pas le polynôme X au troisième degré, mais à la forme particulière
qui se déduit, à un facteur constant près, de la forme bicarrée (yj^^H- /')(g''j^^-f- r') du n® 249, par le changement de variable
y =z xi/ • Le paramètre k se nomme alors le module.
