Donnons d'abord quelques définitions

Intégrales abéliennes. — Soit cp(x, y)=zo l'équation d'une courbe algébrique; on nomme intégrale abélienne appartenant

à celte courbe toute intégrale du type

j f{3c, y)dx,

o\i/(x, y) est une expression rationnelle en x et y^ eioiiy esi supposée liée à x par l'équation « (x^ ^) = o de la courbe donnée.

Gtonre. — On nomme genre d'une courbe algébrique indécomposable de degré n la différence entre le nombre maximum de points doubles que comporte ce degré, à savoir

d'après le n" 224, el le nombre effectif d des points doubles de la courbe. On a ainsi, p désignant le genre,

Si la courbe a un point triple à tangentes distinctes, ce point est équivalent à trois points doubles^ et, en général, un point

multiple d'ordre /t, à langenles distinctes, équivaut à - A(A — i)

points doubles.

Les courbes de genre zéro sont unicursales et réciproquement (n°' 22i-226); et Ton peut dire (n« 221) que toute intégrale abélienne appartenant à une courbe de genre zéro est réductible aux fonctions élémentaires.

Correspondance univoque. — On dit que deux courbes planes, '^{x, y) = G, ^(i, Yj) = o, se correspondent d'une manière univoquCy ou point par point, quand on peut, à tout point de Tune, faire correspondre un et un seul point de l'autre, et réciproquement.

Analytiquemeni, si x, y et Ç, y| désignent les coordonnées de deux points correspondants, il faudra évidemment que Ç et t, s'expriment rationnellement en x ei y :

F et G étant des fonctions rationnelles. Inversement, si \ et r, vérifient la relation <{^($, -/i) = o, les deux équations (i), jointes à