CHAPITRE II. — RÉDUCTION D^INTÉGRALES INDÉFINIES

ç(.r, y) = o, ont, en x et j-, une, et une seule, solution commune, puisqu'à un point Ç, t] ne répond qu'un }3oint x^y. D'après la théorie de l'élimination, les valeurs x ety, correspondant à cette solution, s'exprimeroni. rationnellement en fonction des coefficients qui figurent dans cp et dans les équations (i), c'est-à-dire de Ç et de 7|; de sorte que Ton a

0 et 0 étant rationnels en Ç, t]. Les équations (i) et (2) sont celles qui établissent la correspondance univoque entre les deux courbes proposées.

Lemme. — Si deux courbes se correspondent point par point, toute intégrale abélienne appartenant à l'une est transformable en une intégrale abélienne appartenant à l'autre.

Soit, en effet, l'intégrale abélienne

(3) f/ii, r,)dl

appartenant à la courbe <!($, r,) = o; si Ton y fait la transformation rationnelle donnée par les formules (1), à savoir

X ci y seront liés par l'éqiialion ^{x^ y) = o, puisque, par hypothèse, quand le point Ç, t\ décrit la courbe i = o, le point correspondant X, y décrit la courbe 'f =0, et réciproquement. On a, d'ailleurs,

^ dx ày - dx ày -^

d'où, en éliminant dy^

ùY ô^ dF ôo

(5) dl= JL-^^-J— do-,

et l'inlégrale (3), si l'on j remplace Ç, r, elrfÇ parleurs valeurs (4)

256 DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES Dt CALCUL INTBGBAL.

et (5) en x^ y et dxy prend la forme

g(x,y)dx,

f^ étant rationnel en x et j^, et x, y étant liées par © (x, y) = o.

Cela posé, nous allons indiquer comment on peut réduire les intégrales abéliennes de genre un, c'est-à-dire appartenant à une courbe de genre un,

254. Cubique plane. — Supposons d'abord que la courbe de genre un soit une cubique plane, c*est-à-dire une courbe du troisième ordre sans point double; le genre d'une telle courbe est

bien /? = - 2 . i := i .

En transportant l'origine en un point de la cubique, l'équation de celle-ci s'écrit

Ax' -h hx^y -h Cy^x -h T>y^ -+- ax^ -h bxy -\- cy^ -r- ax -h ^y = o;

coupons-la par une sécante, ^ = tx, issue de l'origine. Il vient, en éliminant^ et supprimant le facteur x,

d'où, en résolvant par rapport à x cette équation du second degré,

(6) X = fonction rationnelle dé t et de ^T,

T désignant le polynôme du quatrième ordre en t sous le radical. Par suite aussi,

(7) y = tx = fonction rationnelle de / et de /T. De même enfin, en diflérentiant l'expression de a?,

(8) dx z= dt X fonction rationnelle de t et de /T.

On a ainsi exprimé les coordonnées d'un point de la cubique en fonction Irrationnelle d'un paramètre t.

Soit maintenant une intégrale abélienne quelconque

j f{^,y)dx,