CHAPITRE II. — RÉDUCTION D* INTÉGRALES INDÉFINIES

appartenant à la cubique; remplaçons-y x^ y et dx par leurs valeurs (6), (7) et (8) en fonction de f , y/T et dt\ cette intégrale prendra la forme

g étant rationnel en t et ^T : c'est là une intégrale elliptique, puisque le polynôme T est d'ordre quatre; donc :

Toute intégrale abélienne appartenant à une cubique de genre un est réductible à une intégrale elliptique,

^}^o. Courbe générale de genre un. — Soit une courbe quelconque de genre un, 'f{x^ ^) = o, de degré n. Par hypothèse, ses points doubles sont au nombre de

considérons maintenant les courbes d'ordre n — a, Cn a? adjoînlcs à la proposée, c'est-à-dire passant par les points doubles; leur équation générale renferme, sous forme linéaire et homogène, un nombre de coefficients égal à

~{n — i)n — -(n — i)(/i — 2) — 1 , c'est-à-dire à n,

puisque l'équation générale des courbes d'ordre n — 2 dépend

de - (n — i) n coefficients.

Celles des courbes adjointes C,i 2 qui passent par n — 3 points simples, choisis arbitrairement sur la proposée, auront donc, dans leur équation générale, n — (/i — 3), c'est-à-dire trois coefficients, et cette équation sera, dès lors, du type

D'ailleurs, chacune des courbes (9) coupera la proposée '^(jc,j') = o en trois points mobiles; car le nombre total des points d'intersection d'une courbe (9) et de la proposée étant (n — 2)/i, et le nombre des intersections fixes étant : i® de

2 I i(/2 — OC'* — ^) — M P^^^ l^s points doubles; 2° de (n — 3)

ij8 DEUXIEME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTEGRAL.

pour les points simples choisis, il reste, pour le nombre des points mobiles communs,

fi 2)n — i\ -(n — i)(n — 2) — I 1 — (/i — 3), c'est-à-dire 3.

Maintenant, à tout point ;r, y de la proposée ^(x^ y) = o^ faisons correspondre le point de coordonnées Ç, t), définies par

le lieu de ce point Ç, r^, lorsque :r, y décrit la courbe tp(x,^) = o, sera une courbe K, que je dis correspondre point par point à la proposée.

En effet, d'après (10), à un point x^ y ne correspond qu'un seul point Ç, 7|; inversement, il faut prouver qu'à tout point ^, 7, ne répond qu'un point Xy y de la proposée. Supposons qu'il en soit autrement, c'est-à-dire qu'aux valeurs Ço> ''lo puissent répondre ;iu moins deux points x, y^ de coordonnées a, b et a', 6'; on aurait alors

$0= fy{a', b') = ^(a, b), 710= ^(a', b' ) = fy{a, b\

d'où

Aia\b') ^ Ma\ b') ^ Ma\b') fiiciy b) fî{a, b) fiia.b)'

Ces relations montrent que toutes les courbes (9) qui passent par le point a, 6 de la proposée passeraient aussi parle pointa', b'] elles ne couperaient donc la proposée qu'en 3 — 2, c'est-à-dire en an seul point mobile, et, comme leur équation renferme encore un paramètre linéaire, les coordonnées du point mobile s'exprimeraient en fonction rationnelle de ce paramètre; en d'autres ternies, les coordonnées d'un point de la proposée seraient des fonctions rationnelles d'une variable, c'est-à-dire que la proposée serait uiiicursale, ou de genre zéro, contrairement à l'hypothèse.

Donc enfin, la proposée et la courbe K se correspondent point par point. c. q. f. d.

Je dis maintenant que la courbe K est du troisième ordre. Coupons-la, en effet, par une droite quelconque )h + ^2^ -i- ^s''! =0;