CHAPITRE II. — REDUCTION D INTEGRALES INDEFINIES. îSq

à chacun des points ^, 7|, communs à la droite et à la courbe K, répond un (et un seul) point x^ y^ commun à la proposée et à la courbe

dont Téquation a été obtenue en remplaçant ^ et 7^ par leurs valeurs (10) dans Téquation de la droite. Le nombre des points mobiles communs à la courbe K et à la droite arbitraire considérée, c'ést-à-dire le degré de K, est donc égal au nombre des points mobiles x^ y communs à la courbe (11) et à la proposée, c'est-à-dire à trois, puisque les courbes (11) coïncident avec les courbes (9). c. q. f. d.

Dès lors, K étant d'ordre trois et correspondant point par point à la proposée, il résulte du Lemme du n° 2o3 que :

Toute intégrale abélienne appartenant à une courbe de genre un est réductible à une intégrale abélienne relatii^e à une cubique; et, par suite (n°254), à une intégrale elliptique.

La courbe de genre un correspondant point par point à une cubique, il résulte aussi du n^ 254 que :

Les coordonnées d'un point d'une courbe de genre un peuvent s^exprimer rationnellement en fonction d'un paramètre t, et d'un radical y/ï, portant sur un polynôme du quatrième degré en t.

Exemple. — Soit la courbe du quatrième ordre (12) (a?»-f-7*)*= y — ax,

qui admet pour points doubles (de rebroussement) les deux points circulaires à l'infini, et qui est, dès lors, de genre un. Proposons-nous d'exprimer les coordonnées, x et y, d'un de ses points en fonction de t et de y/T. A cet effet, considérons les courbes adjointes d'ordre n — a : ce sont des circonférences quelconques; prenons celles qui passent par n — 3 points simples de la proposée, par exemple, puisqu'ici n — 3 = 1, celles qui passent par l'origine. Leur équation générale est

(i3) Xi(a?*-t-^*)-hXja:4-X8>' = o.

'26o DEUXIÈME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

Posons, suivant la théorie générale,

équations d'où Ton tire, sans même recourir à la relation (12),

Portons ces valeurs dans (12); nous obtenons Téquation de la cubique décrite par le point Ç, i\ :

(16) (Ti-aî)({«-^V) = i.

Pour exprimer ÇetYj en fonction d'un paramètre f, nous devons couper la cubique par une sécante issue d'un point fixe de cette courbe, par exemple par une parallèle à l'asymptote réelle :

Portant dans (16) la valeur de r\ tirée de (17), nous trouvons l'équation en \

d'où

^ — ff <« -t- y// ( I -4- g^ ) — /^ t'^^asjtii^ a») — V*

Substituons ces valeurs dans (i 5), en observant que, d'après (16) et (17), \^ ^r^z=. -\ nous obtenons finalement les expressions demandées de j; et j^ :