CHAPITRE III. — INTÉGRALES DÉFINIES
Su étant compris entre x„^i et x„; de sorte que
a- r f{x)dx = Uxn^i- a:n)[f(U)-fan)]-
Mais la fonction /(a:) est continue, et par suite uniformément continue entre a et 6; elle a donc, dans cet intervalle, et pour un nombre donné e, un module de continuité uniforme 'r\{^)» Comme d'ailleurs chacune des subdivisions XnXn^^ tend vers zéro, il arrivera un moment où toutes ces subdivisions seront inférieures à f\{^) • alors, en vertu de la définition même de la continuité uniforme, toutes les quantités y*(Ç„) — /(^«) seront inférieures à e, en valeur absolue, puisque \n et X^n sont compris tous deux dans un intervalle, Xn^n^^ inférieur à 'i\{t).
On aura donc
mod (j— Ç f{x)dx\<i:L
(xn-^x — x,,)^ c'est-à-dire < £( 6 — a).
ce qui prouve bien que t a pour limite l'intégrale
I f{x)dx.
262. Extension. — Tout ce qui précède suppose a<ib\ pour a>b^ on définit l'intégrale / f{x)dx par la relation
f /(x)d.r = - f /(T)dx,
et Ton en déduit que / f{x)dx est, quel que soit Tordre de grandeur de a et de 6, la limite de la somme
où X|, x^^ ..., Xfi^ ^'/i+ii ..• sont des points de division arbitraires entre a et 6, écrits dans Tordre où on les rencontre en allant de a vers b. Car si a < ^, c'est Ténoncé du théorème précédent;
si a > 6, l'intégrale / est, d'après ce même théorème, la limite
de l{xn — ^«+i)/(5/i)i el par suite / est la limite de la somme (2), qui est égale et de signe contraire à la précédente.
263. Corollaire I. — On a, quel que soit l'ordre de grandeur de a, 6, c,
Car si a <i c<i bj la proposition a été établie au n® 260; si Tordre de grandeur est autre, par exemple si a < 6 •< c, on a
Corollaire II. — On a de même, en désignant par m le minimum et M le maximum de /(^) enlre a et 6,
lorsque a <ib (11*' 260, 2").
Au contraire, si a'^ b, en écrivant les mêmes inégalités pour
I et en changeant les signes, on a
Jb
{b-a)-: Ç /(x)dx>M{b^a),
lorsque a> b.
Mais, dans tous les cas, l'intégrale est comprise entre M(6 — a) et m(6 — a), de sorte que
/ f{x)dx= ^{b — a\
[X étant intermédiaire entre m et M; c'est ce qu'on nomme le Théorème de la moyenne*
On peut écrire aussi, puisque la fonction continue /"(j:) atteint,
