CHAPITRE III. — INTÉGRALES DÉFÎMES

«Dire a et 6, la valeur jx (n" 8),

nx)dx = {b-a)f{c),

c étant intermédiaire entre a et b.

Corollaire III. — Si, entre a et 6, on a

on en déduit, en supposant a < 6, et par suite Xnj^.\ — x^ >• o,

d^oii, en faisant la somme et passant à la limite,

Ç ^{x)dx< I /ix)dx< f 6(x)dx (a<//).

Si a >■ 6 les inégalités seraient renversées.

Corollaire IV. — L'intégrale d'une fonction impaire f{x)^ entre deux limites égales et de signes contraires, est nulle.

En effet, les deux éléments /(a*) rfo; et/( — x)dx se détruisent, puisque /(—x) = —/(x).

Au contraire, si /(a:) est une fonction paire, les deux éléments s^ajoutent, et Ton a

/ f{x)dx = i / /{x)dx.

264. Remarque. — Il est indispensable d'observer que l'existence de l'intégrale définie n'est établie qu'à deux conditions; il faut :

1® Que la fonction /(x) soit continue dans le champ d'intégration, c'est-à-dire de a à 6, et aussi pour x =^a^ x z= b.

2^ Qu'aucune des limites a et 6 de l'intégrale ne soit infinie; car on a essentiellement supposé que M (6 — a) était fini et que e{b — a) avait zéro pour limite quand e tendait vers zéro. Déplus, la continuité uniforme, sur laquelle on s'est appuyé au n^261, n'existe sûrement que dans un intervalle fini (n° 11).

Si donc on veut étendre la notion d^intégrale déCnie au cas d'une fonction non continue ou au cas d^un champ infini, une étude nouvelle sera nécessaire.

265. L'intégrale comme fonction de ses limites. — Considérons un point quelconque, y^ compris entre a el b\ Tintégrale

f{x)dx est une fonction dey? soit F(;). Je dis que F(^)

est continue dans Tintervalle ab et a pour dérivée /(y). En eiTet, d'après les corollaires I et II du numéro précédent, on a

f f(x)dx- /{x)dx= f(.x)dx = hf{r^).

Il ^a •J y

7i étant intermédiaire entre j^ ely-\-h. Or mod/(x) a un maximum, M, quand x reste dans l'intervalle a&, de sorte que Ton a

mod[F(7-h/4)— F(>')J'IMA,

inégalité d'où l'on déduit immédiatement la continuité àe¥{y). D'autre part, on peut écrire

or Tj est compris entre y Ql y -{- A, et l'on peut prendre h assez petit, en vertu de la continuité de/, pour quey*(7i) reste compris entre f{y) — e ^^f{y)~^ ^7 ^ étant aussi petit que l'on veut : il en résulte, en passant à la limite, qu'on a

lim

c'est-à-dire que la dérivée de F(j^) Qsif{y).

Sous une autre forme : La dérivée de IHntégrale 1 f{x)dx

par rapport à la limile supérieure, 6, estf{b)\ la dérivée par

rapport à la limite inférieure, a, est — /{^), car f = — f .

266. Corollaire. — Toute fonction J{y)j continue dans un intervalle ab^ est la dérivée, dans le même intervalle, d'une fonction F(y), continue dans cet intervalle.