Remarque I. — L'intégrale / f{x)dx est une fonction

de «, de b et des paramètres qui peuvent figurer A^ns f(^x)\ mais elle n'est pas fonction de la lettre x^ par rapport à laquelle on efleclue la sommation; de même, la somme So:^, étendue aux nombres entiers de n à N, n'est fonction que des limites n et N.

Par conséquent, les deux expressions / /(x)dxel 1 /(a) du désignent une même quantité. Souvent on rencontre des intégrales de la forme / /(^) dx : il ne faudra pas oublier que la lettre x joue là deux rôles différents, ce que l'on voit nettement en écrivant l'intégrale / f{u)du.

Remarque II. — Il résulte du corollaire précédent que toute

fonction continue a une fonction primitive, tandis qu'elle n'a pas nécessairement une dérivée (n** 12, remarque). Ce fait inattendu

mérite d'êlre signalé.

Remarque III. — Supposons, dans l'intégrale i f{x)dx^

que b tende vers a. L'intégrale, en vertu du théorème de la moyenne, est égale à (6 — «)/(c)> où c est intermédiaire entre a et 6 : à la limite, /(c) tendant vers /(a), et (6 — a) vers zéro, on voit qu'une intégrale dont les limites sont égales est nulle. On aurait pu le déduire directement de la définition même de l'intégrale définie.