CHAPITRE I. — généralités; DIFFÉRENTIELLES. l

avec X, On en tire

y — Aar"»-h sa:'".

Le terme Ax'^ se nomme la valeur principale de Pinfiniment petit y. Soit de même Ba:" la valeur principale de Tinfiniment

petit e; on a

y = Aa:"*-+- B^r'^-^-^H- eia7'«+'«,

El étant inGniment petit. On peut continuer ce calcul, et mettre ainsi ^ sous forme d'une somme de 2, 3, 4y • • • termes infîniment petits, dont chacun est d'ordre supérieur aux précédents.

16. Corollaires. — La valeur principale de la somme d'un nombre fîni de termes est la même que celle de la somme des valeurs principales des termes.

Par exemple, la valeur principale de sin j; -j- tangx -{- x^^ pour x infiniment petit, est la même que celle de x-^x-^-x^^ c'està-dire IX,

Il y a cependant un cas d^ exception : c'est celui où les termes d'ordre le moins élevé se détruisent, comme dans sinar — x-^-x^. La valeur principale n'est alors pas la même que celle de X — x-\-x^j qui serait x^ ; pour l'obtenir, il faut pousser le développement de sinx jusqu'au second terme, ce qui donne pour la

valeur principale

Dans les applications, un peu d'attention suffit pour éviter toute erreur : on est en effet prévenu du cas d'exception par ce fait que l'on obtient pour la valeur principale cherchée, en appliquant la règle générale, un infiniment petit d'ordre supérieur à l'ordre prévu.

La valeur principale du produit d'un nombre fini de termes est le produit des valeurs principales des termes, sans cas d'exception.

Ainsi la valeurprincipale, pour :r infiniment petit, Aex'^sinxcosx est x'.

Par extension, si une fonction /(x), de l'infiniment petit x, lend vers A pour x = o, A étant une constante non nulle, on dira que A est la valeur principale de f{x) pour :c = o. C'est ainsi que, dans l'exemple précédent, la valeur principale du facteur cos:r a été prise égale à i.

l6 PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFÉRENTIEL.

17. L'inverse d'un infiniment petit est une quantité dont la valeur absolue croît au delà de toute limite, c'est-à-dire un infiniment grand. On dit qu'un infiniment grand F(j:) est d'ordre m

par rapport à x quand ^y^ est un infiniment petit d'ordre m ; on a ainsi

-„ — = A x^ -T- ear"* ;

d'où

et V— j;^ sera la valeur principale de ['infiniment grand F(j:).

18. Soient deux infiniment petits y et z^ fonctions d'un même infiniment petit principal x^ et d'ordres m et /i :

i" Si y et z sont du même ordre (m = n)^ la limite du quotient — 9 quand x tend vers zéro, est le quotient des valeurs

principales de y et de z;

2" Si y est d'ordre supérieur à z(m,.. > n), ^ est un infini-

ment petit dont la valeur principale est le quotient des valeurs principales de y et de z]

."5" Si y est d'ordre inférieur à z{m <i /^), - est un infiniment grand dont la valeur principale est encore te quotient des valeurs principales dey et de z.

Ces propositions résultent des définitions

d'où

y A-f-£ A r Be — Aê' I

au dernier membre, tt a:'""" est le quotient des valeurs principales

Ax"* et Bjc", de y et de 3, et la quantité entre crochets tend vers 1 pour a; = o, ce qui démontre les trois cas du théorème.