III. - DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE

19. Formule des accroissements finis. — On établit, dans le Cours de Mathématiques spéciales, Timportantc proposition suivante :

Si/(x) désigne une /onction continue entre x = a et x = b^

admettant dans cet inteiwalle une dérivée Jînie et déterminée,

f {x)y on a

f{x -^ h)-f{X)= h f'ix -^^h),

pour toutes les valeurs de x -h h et de x comprises entre a et i, en désignant par 6 une quantité comprise entre i) et i.

On en déduit, en particulier, (|u'unc fonction, continue enlre a et 6, dont la dérivée est nulle dans cet intervalle, est une constante dans le même intervalle.

20. Différentielle première. — Soit y une fonction de x^ j^=y(j:); désignons par A^ son accroissement pour Faccroissement infiniment petit h de x.

Si f{x) admet une dérivée pour la valeur x de la variable on a

limite (pour h = o) de-*— =/'{x)^

c'est-à-dire que ly est, par rapport à A, un infiniment petit du premier ordre, dont la valeur principale est h /'(x). On désigne cette valeur principale par dy, et on l'appelle différentielle ou différentielle première de la fonction j'. Ainsi, par définition,

dy^hf\x),

et dy est la valeur principale de raccroissement de y^ quand x

éprouve l'accroissement /i.

Appliquons cette formule à la fonction j)' = j:; il vient,

puisque f\x) = i ,

dx = /*,

c'est-à-dire que la différentielle de la variable indépendante est égale à son accroissement,

iS PREMIÈRE PARTIE. — CALCUL DIFFERENTIEL.

On en déduit

c'est-à-dire que la différentielle df une fonction de x est le prodiiit de la dérivée par l^ accroissement infiniment petit dx de la variable.

D'a])rès cela ^y eldx sont des infiniment petits du même ordre, sauf pour les valeurs particulières de x qui rendent y*' (j:') nul ou infini. Par exemple, dans une courbe en coordonnées polaires p = /*((o), Ap et diù sont des infiniment petits du même ordre, sauf en certains points spéciaux de la courbe.

21. Corollaire. — Deux fonctions d'une même variable dont les difTérenlielles sont identiques ne difTèrent que d'une constante : car cela revient à dire qu'elles ont même dérivée, et leur difl'érence, ayant une dérivée nulle, est dès lors une constante (n" 19).

22. Remarque. — Il résulte de là que, pour déterminer la dérivée d'une fonction inconnue, définie par des propriétés géométriques ou physiques, on n'aura qu'à chercher la valeur principale de l'accroissement, en néglij^eant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Celte valeur principale sera le produit de dx par la dérivée ; on connaîtra ainsi la dérivée, d'où l'on remontera à la fonction.

C'est là im des principes fondamentaux du Calcul infinitésimal ; il est d'ailleurs indépendant de la notation difTérenlielle, et traduit la définition même de la dérivée.

Nous aurons souvent à l'a[)pliqucr dans ce Cours; un exemple connu en l^hysique est l'évaluation des hauteurs par le baromètre.

Soient/? la pression atmosphérique à la hauteur 5, 8 la densité de l'air à cette hauteur. Si l'on s'élève de dz^ la diminution de pression sur l'unité de surface est le poids du prisme gazeux de base I et de hauteur dz.

Or si S — £ est la densité du gaz à la hauteur 2 -h rfs, il esl clair que le poids considéré esl compris entre (3 — t) dz et ^ dz \ mais e, • s'annulanl avec dz, est un infiniment petit, de sorte que e dz est d'ordre supérieur au premier par rapport à dz. La