CHAPITRE ni. — INTÉGRALES DÉFINIES
suite F(a) sera celle des valeurs de arctanga qui est comprise entre et H — ; même résultat pour F(6). Si donc on désigne
par le symbole Arc ta ng- un arc compris entre et + -> on
aura
* dx
= Arc tang6 — Arc tanga.
Jr* dx f « où la réalité
exige que a et 6 soient compris entre — i et +i, la fonction F(x) est arcsiu^. Prenons pourF(j?) la valeur de l'arc sin qui s'annule pour.o: = o, et faisons varier a: de o à riz i : F( j:) variera
de o à =iz— , et par suite F(a) et F(6) seront les valeurs de
arc sin a et de arc sin 6 comprises entre et H On aura
donc, eu désignant ces arcs par le symbole Arc sin,
dx
= Arc sin6 — Arc sina.
r~ dx 3** Soit à calculer / —«La fonction F(:r) est log±: j;. Si
l'on prenait F(:r)= log^, entre :r = — 2 et j: = — i, on aurait pour log^ des valeurs imaginaires. On évitera cette difficulté en prenant F(j!:)=log( — x), fonction qui est réelle et déterminée sans ambiguïté dans l'intervalle considéré, et l'on aura alors, en vertu de (i),
^^ dx
— = log I — loga = — loga.
270. Les procédés généraux de calcul indiqués pour les intégrales indéfinies s'appliquent aux intégrales définies. Par exemple, si l'on a
/(a7)=cp(a:)-+-4;(a7)-h...,
on en déduit évidemment, en vertu de la définition même de H. i8
l'intégrale définie,
c'est le procédé de décomposition en éléments simples.
De même, la formule A'' intégration par parties subsiste; car de l'identité
on déduit . f (/oydx= f f'odx-^ f fidx.
Ja *^a ^a
Or le premier membre, en vertu de la formule fondamentale (i), est f{b)^{b)—f{a)(f{a)^ ce que l'on écrit plus simplement (/ç)^; donc
f f'^dx=.{fr^)'^^ f f^'dx.
On établirait de même la formule du changement de variable dans les intégrales définies ; mais il est préférable, pour la rigueur, de faire la démonstration en s'appujant sur la définition même de l'inlégrale, plutôt que sur son lien avec l'intégrale indéfinie.
271 Changement de variable. — Dans l'intégrale / f{x)dx^
va
remplaçons x par une nouvelle variable ^, en posant
il s'agit d'obtenir l'intégrale transformée en t.
Soient a et p les valeurs de t qui correspondent aux valeurs a et b Ae x\ on supposera :
I** Essentiellement, que la fonction o{t) et sa dérivée ^'(t) sont déterminées et continues dans l'intervalle a^;
2« Provisoirementy que cp'(^) garde un signe constant dans le même intervalle.
