CHAPITRE III. — INTÉGRALES DÉFINIES

Faisons maintenant varier ^ de a à p, en passant par des valeurs successives

*> ^l> 'î? •••> ^nt ^rt-Hli • • • > p.

D'après les hypothèses, o'{t) étant toujours de même signe entre a et p, la fonction f{t), c'esl-à-dire a:, varie toujours dans le même sens de <p(a) à ^(^), c'est-à-dire de a k b] par suite, aux valeurs ci-dessus de / correspondent, pour a:, des valeurs

Clf Xif Xff •••) ^n» ^n4-l> •••! ^}

qui seront rangées par ordre de grandeur croissante ou décroissante, selon que 6 > a ou 6 <; a.

D'ailleurs on a, en vertu du théorème des accroissements finis,

In étant compris entre tn et tn^^ , Soit ^n la valeur de x qui correspond à t = 'Zn'y elle sera, d'après ce qui précède, comprise entre Xn et Xn^i» Multiplions les deux membres de la relation précédente par/(Ç;,), c'est-à-dire par/[(û(T„)], et ajoutons toutes les relations analogues, obtenues en faisant varier n ; il vieat

2y(Ç«)(2:«-Ki-a?„)=2/[cp(':«)](^-^i— /«)?'(-«).

A la limite, en faisant tendre vers zéro les intervalles 1,,^^ — l,ty et par suite les intervalles x,t^t — Xff, on aura

(1) / f(x)dx= l f[o{t)\^\t)dt.

C'est là la formule du changement de variable; a et ^ sont les valeurs de t qui correspondent aux valeurs a et i de x.

Affranchissons-nous maintenant de la restriction provisoire relative au signe de ç>'(0» ^^ su|>posons, par exemple, que, / allant de a à p, o' {t) change de signe pour les valeurs ^ = y et ^ = 5; soient cet <i les valeurs correspondantes de :r, c = cp(y), rf = o(5).

La formule (2) est applicable dans chacun des intervalles ay, yS et Sp, puisque dans chacun d'eux 'f'(0 b^arde un signe

constant; on a donc

/ f{x)dx= f f[^(t)]<?'(t)dt,

• 'et mJ M

d'où, en ajoutant, et quel que soit Tordre de grandeur des quantités Uj b, Cj d (*) (n^ 263, Corollaire I),

(2) f /{x)dx= f /[9(0]?'(0rf^

Donc :

Règle. — Pour /aire le changement de variable, remplacer dans l'intégrale x par f{t)j dx par ^'{t)dtj et prendre pour nouvelles limites les valeurs de t qui correspondent aux anciennes limites de x,

272. Il faut, en appliquant cette règle, prendre garde aux valeurs multiples que peuvent avoir parfois ^, ç(^) ou ç'(^) pour une même valeur de x ou de /.

Par exemple, dans l'intégrale / dx^ égale à 2, posons x=it^,

La fonction <p(i)= t^ et sa dérivée, -yt^ étant continues, la règle

peut s'appliquer ; or, pour j; =±: i , la relation x^=^ t^ donne t^= i , c'est-à-dire ^ = i .

On aurait donc, en appliquant sans discernement la formule (2),

/ dx = I - \/l dt = o,

car la seconde intégrale a ses limites égales.

(>) Il peut se faire que les quanlitcs c ou. d sortenl de rintervalle ab) pour que la formule (2) soit applicable, il faut que f{x) soit continue, non seulement entre a et b^ comme cela doit être, mais entre la plus grande et la plus petite des quantités a, 6, c, d. En d'autres termes, /(a?) doit être continue pour toutes les valeurs de x = ^{t) qui correspondent aux valeurs de t comprises entre a et p.