CHAPITRE III. — INTEGRALES DEFINIES

L'erreur provient de ce que, en écrivant dx = -\/ldlj on doit choisir le signe de \/7 de manière que dx soit positif, puisque

a: croît de — i à H- i. Or, x allant de — i à o, ^, égal à (^^)^, va de i à o, et dt est négatif; on doit donc écrire

dx =^ ^t dt^

de / = I à ^ = o.

Au contraire, x allant de o à i, ^ va de o à i, et rf^ est positif; donc

dx =-^ — ^J dt.

de ^ r=r o à / = i.

La formule exacte est donc

/ dx = I dx -¥■ j dx

273. Formule de "Wallis. — On fera, dans la suite du Cours, un fréquent usage des procédés de calculs indiqués ci-dessus; aussi se bornera-t-on ici à une seule application.

Considérons l'intégrale

l,f^ = / sin'wa? dx.

On peut écrire, en intégrant par parties,

\^= I s'\n'^-^x(sinx dx)

= — (sin^'-^x cosa")y*-f-(m — 1) / sin"»-'a:cos'a:e/r.

Si m est supérieur à i, le terme tout intégré s'annule aux. deux limites; quant à la dernière intégrale, en y remplaçant cos^j; par I — sin^ jr, elle s'écrit Im^i — Im« On a donc

c'est-à-dîre

(3) Jm= 'm— î*

' ni

Supposons maintenant m entier; cette relation de récurrence permet de ramener I2, I4, . . - , \%p à I© ; et I3, I5, . . . , Iay>+i à I|.

On a ainsi

- 7.p — i ip — Z I -

Ijp = • • • -"Iq-