III. - AIRES PLANES ET ÂRGS DE COURBE

i" Aires planes.

274. On a vu au n® 257 comment les anciens Analystes établissaient une liaison entre les aires planes el les fonctions primitives, ou les intégrales définies; mais on a fait observer à ce propos que la notion d'aire n'est pas une notion première, et il importe avant tout de la préciser.

La Géométrie élémentaire ne définit directement que les aires

Fig. 63.

des figures composées de droites; les aires terminées par des arcs de courbe seront définies comme des limites, de la manière suivante :

Considérons (axes rectangulaires) la conrhe y = f{x), et les droites x = a, x = b] marquons sur O^, en allant de a vers 6, des points a:», X2, ..., ^«, ' * "> ^p • l'aire comprise entre la courbe. Taxe des x et les deux ordonnées extrêmes a et 6 (Jiff' 63), sera par définition la limite (si elle existe) de la somme des aires

28o DEUXIEME PARTIE. — PRINCIPES DU CALCUL INTÉGRAL.

des rectangles XnMniXf,^ij c'est-à-dire de la somme

quand toutes les bases des rectangles tendront vers zéro.

Or cette limite existe; c'est précisément (n° 261) l'intégrale

définie / f{x)dx: en d'autres termes, au lieu d'admettre avec

Newton l'existence a priori de l'aire et d'j rattacher l'intégrale, on définit l'aire par l'intégrale, l'existence de celle-ci ayant été préalablement établie par l'analyse.

Les deux méthodes conduisent à la même conclusion : Taire

considérée ci-dessus a pour valeur / f{x)dXy en observant

toutefois que l'élément {xnjf.\ — 0Cn)f{xn) de la somme (S) a le signe -f-, lorsque {xn^\ — Xn) el/{x,i) sont de même signe, et le signe — dans le cas contraire. En d'autres termes, si a < 6, les parties de l'aire situées au-dessus de Ox^ correspondant à f{oCn)^ o, sont comptées positivement, et celles situées audessous, négativement; le contraire a lieu si a > 6.

Si la courbe est donnée sous forme paramétrique, x = ^(/), j^ = ^(^), l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et les deux ordonnées qui correspondent aux valeurs ^o et t^ du paramètre est

275. Si l'on a à calculer l'aire d'une portion quelconque du plan, on la divise en aires partielles, telles que le contour de chaque aire soit rencontré en deux points, au plus, par toute parallèle à Oy.

Soient alors yi (x) ety2(x) {fig» 64) les coordonnées des deux points où le contour C de l'aire est coupé par la droite X = jr, (y2>^i); CL et b les abscisses des parallèles extrêmes à Oy qui rencontrent le contour.

L'aire enveloppée par le contour C est la différence des deux aires aAMBè et aANB6; elle a donc pour valeur

A= f y%dx— f yidx= 1 (yi'-yi)dx,

Ja *^a *^n