Ellipse. — L'aire ombrée (Jiff» 69), comprise entre les

axes Ox, Oy, l'ellipse — i + 4^ — 1 = 0, et la parallèle à Oy d'abscisse x^ est

I y dx = — I v^a* — a?* dx. 0 «^0

On a ainsi à intégrer un radical de la forme ^clx^--\- 2^x -^-y : on pourrait appliquer la méthode générale du n^ 213; il sera plus simple de suivre la méthode de réduction des intégrales hyperellip-

Fig. 69.

tiques (n° 242). On a ainsi, en faisant passer le radical au dénominateur,

(3) l\/a* ^x^dx- f -^—1 1 — d.r = a^ f , ^ — f f ^ '

J J Ja'^—x^ J i/a^-— rr* J Ja'^ — x^

Au dernier membre, la première intégrale est (n® 194)

a' Arc sin - ; a

pour réduire la seconde, partons de l'identité

(a? /a*— ar*)' = /«* — x* —

ar*

d'où, en intégrant,

/a* — a?2 sja'^ — a:*

r\ ; t r ^^ r x^dx

c'est-à-dire

C x^dx I /— a* r dx

(4) — / . = -xJa^ — x^ / «

Donc finalement, en portant cette valeur dans (3),

(5) f^a^^x^dx=^ f , "^-^-v/a^-ar»,

et par suite, d'après (?.),

A = — (a* Arc sin — h xJa'^— x^] = — (a' Arc sin — v- xJà^ — ar« ). ia\ a I ^ ia\ a ^ ]

Le second terme de A est Taire du triangle OMP; donc le

premier terme,

ab . . X

— Arc sin ->

est Taire du secteur elliptique BOM.

L'aire du premier quadrant, OBA, de l'ellipse s'obtient en faisant, dans A, j; = a; on a ainsi

aire OBA = — -—•,

formule bien connue.