CHAPITRE III. — INTEGRALES DÉFINIES. a

280. Hyperbole. — L'aire du segment AMP (^fig* 70), compris entre l'hyperbole — — "^ = i , Taxe transverse et l'ordonnée MP d^abscisse x^ a pour expression

Y dx =^ ^ I Jx^— a^dx.

Appliquons encore, pour calculer cette intégrale, la méthode de réduction, en écrivant d'abord

//x* — a* dx = / - dx =^ — a' / - -+- / -==

Fig. 70.

Au premier membre, la première intégrale est (n® 194)

pour réduire la seconde, partons de l'identité

(ar/ar* — a«) = v/^r* — a* -4-

ar«

aa?* — a*

d'où

/-- r a:5c?27 r dx

J i/ar*— a* */ i/a?* — a*

On en conclut comme plus haut la formule, analogue à (5),

/Jx^ — o' dx = / , H — xJx^— a*.

ce qui donne, en multipliant par-, et prenant l'intégrale entre

a et x^

K ^ ( r\ 7 <i a? -4- v/ar» — a« \

A = — l arv^a?* — a' — a*Iog ^^ )•

ia\ ^ "^ a J

On peut observer que le premier terme de A est l'aire du triangle OMP; donc le second terme, changé de signe,

ab . X -4- /a?* — a*

— log ^- ,

est Taire du triangle curviligne OÂM.

281. Parabole. — La parabole, rapportée à son foyer, F, et à son axe, a pour équation, en coordonnées polaires,

^ I — costo

l'aire ombrée FAM {fig- 71), comprise entre la courbe, le rajon

Fig. 71.

vecteur FA du sommet et le rajon vecteur FM, d'angle polaire co. a pour valeur, d'après la formule / - p* rfto du n® 277,

" ^- J^ (i-cosai)«~ 2 X 4sin*-'

On a à intégrer une fonction paire de sin— ; on posera donc (no 230, i«)

Oi , 7.dt tang— = /, o) = 2arc tang^, aw = r,

d'où

3tang« hi

3 (li

lang' —